Sisteme de Două Ecuații Liniare cu Două Necunoscute – Materie EN și BAC

Bun, hai să vorbim despre un subiect care de multe ori pare complicat, dar care e de fapt incredibil de elegant și util. Sistemele de ecuații. Nu sunt doar niște exerciții abstracte cu x și y. Sunt modalitatea matematică de a găsi punctul de întâlnire, de a rezolva probleme cu două variabile interdependente, de a găsi soluții comune pentru două condiții. E un concept atât de frumos încât, odată ce îl înțelegi, vezi geometria în spatele algebrei.

1. Ce e un Sistem de Ecuații? (Spoiler: Nu e Doar Două Ecuații la Un Loc)

Gândește-te la el ca la o căutare a punctului care satisface două condiții simultan. Ca atunci când spui “vreau un număr care e și mai mare decât 3, și mai mic decât 7”.

Definiția oficială: Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute are forma:

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

unde a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ sunt numere reale.

Traducerea umană: Căutăm o pereche (x, y) care să satisfacă AMBELE ecuații în același timp.

Exemplu clasic:

x + y = 10
x - y = 2

Căutăm două numere care adunate dau 10 și scăzute dau 2.

2. Interpretarea Geometrică – Cea Mai Frumoasă Perspectivă

Fiecare ecuație reprezintă o dreaptă în plan!

Ecuația: ax + by = c → dreaptă în planul xOy

Sistemul:

a₁x + b₁y = c₁  → dreapta d₁
a₂x + b₂y = c₂  → dreapta d₂

Soluția sistemului = Punctul de intersecție al celor două drepte!

Trei posibilități:

1. Drepte concurente (se intersectează într-un singur punct) → Soluție unică
2. Drepte paralele (nu se intersectează niciodată) → Nicio soluție
3. Drepte coincidente (sunt aceeași dreaptă) → Infinit de soluții

3. Metoda Substituției – Când Exprimi și Înlocuiești

Principiu: Exprimi o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă.

Exemplu:

x + y = 10   (1)
x - y = 2    (2)

Pași:

1. Din ecuația (1): x = 10 – y
2. Înlocuim în ecuația (2): (10 – y) – y = 2
3. Rezolvăm: 10 – 2y = 2 → -2y = 2 – 10 → -2y = -8 → y = 4
4. Calculăm x: x = 10 – 4 = 6
5. Verificare: 6 + 4 = 10 ✓, 6 – 4 = 2 ✓

Soluția: (6, 4) sau x=6, y=4

Când e bună metoda substituției?

• Când o ecuație are coeficientul 1 la una dintre necunoscute
• Când poți exprima ușor o necunoscută

4. Metoda Reducerii (Sau a Eliminării) – Când Aduni sau Scazi

Principiu: Înmulțești ecuațiile cu numere potrivite, apoi le aduni sau le scazi pentru a elimina o necunoscută.

Exemplu 1 (eliminare directă):

x + y = 10
x - y = 2
------------ (+)
2x = 12 → x = 6
Înlocuim x=6 în prima: 6 + y = 10 → y = 4

Exemplu 2 (necesită înmulțire prealabilă):

2x + 3y = 8   (1)
3x + 2y = 7   (2)

Vrem să eliminăm x. Înmulțim:

• Ecuația (1) cu 3: 6x + 9y = 24
• Ecuația (2) cu 2: 6x + 4y = 14

6x + 9y = 24
6x + 4y = 14
------------ (-)
5y = 10 → y = 2
Înlocuim y=2 în (1): 2x + 6 = 8 → 2x = 2 → x = 1

Când e bună metoda reducerii?

• Când coeficienții sunt “prietenoși” pentru eliminare
• Când nu poți exprima ușor o necunoscută

5. Metoda Cramer (cu Determinanti) – Cea Mai Elegantă

Pentru sistemul:

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Calculăm determinanții:

Δ = |a₁ b₁| = a₁b₂ - a₂b₁
    |a₂ b₂|

Δx = |c₁ b₁| = c₁b₂ - c₂b₁
     |c₂ b₂|

Δy = |a₁ c₁| = a₁c₂ - a₂c₁
     |a₂ c₂|

Soluțiile:

• Dacă Δ ≠ 0 → sistem compatibil determinat (soluție unică)

  x = Δx/Δ
  y = Δy/Δ

• Dacă Δ = 0 și Δx = Δy = 0 → sistem compatibil nedeterminat (infinit de soluții)
• Dacă Δ = 0 și (Δx ≠ 0 sau Δy ≠ 0) → sistem incompatibil (nicio soluție)

Exemplu:

2x + 3y = 8
 x - 2y = -3

Δ = |2  3| = 2×(-2) - 1×3 = -4 - 3 = -7
    |1 -2|

Δx = |8  3| = 8×(-2) - (-3)×3 = -16 + 9 = -7
     |-3 -2|

Δy = |2  8| = 2×(-3) - 1×8 = -6 - 8 = -14
     |1 -3|

x = Δx/Δ = (-7)/(-7) = 1
y = Δy/Δ = (-14)/(-7) = 2

6. Metoda Grafică – Pentru Cei Vizuali

Pași:

1. Reprezintă grafic fiecare dreaptă
2. Găsește punctul de intersecție
3. Coordonatele punctului sunt soluția

Cum reprezintă o dreaptă:
Pentru ax + by = c:

• Găsește două puncte (de obicei intersecțiile cu axele)
• Trasează dreapta prin ele

Exemplu: Pentru x + y = 4

• Pentru x=0: y=4 → punctul (0,4)
• Pentru y=0: x=4 → punctul (4,0)
• Trasează dreapta prin (0,4) și (4,0)

Limitare: Nu e precisă dacă soluțiile nu sunt numere întregi.

7. Cazuri Speciale – Când Sistemul Se Comportă Neașteptat

Cazul 1: Drepte paralele (nicio soluție)

Exemplu:

2x + 3y = 5
4x + 6y = 10   (observă: a doua ecuație e dublul primei, minus...)
Corect pentru paralele: 4x + 6y = 12 (alt termen liber)

Metoda reducerii: a doua minus dublul primei dă 0 = 2 (contradicție)

Cazul 2: Drepte coincidente (infinit de soluții)

Exemplu:

2x + 3y = 6
4x + 6y = 12   (a doua e exact dublul primei)

Metoda reducerii: a doua minus dublul primei dă 0 = 0 (identitate)

Cazul 3: O necunoscută lipsește

Exemplu:

x = 3
2x + y = 7

Soluție directă: x=3, înlocuim: 6+y=7 → y=1

8. Sisteme cu Parametri – Când Coeficienții Sunt Litere

Exemplu: Pentru ce valori ale lui m sistemul are soluție unică?

(m+1)x + 2y = 3
3x + (m-1)y = 1

Rezolvare: Calculăm Δ și punem condiția Δ ≠ 0

Δ = |m+1   2| = (m+1)(m-1) - 3×2 = m² - 1 - 6 = m² - 7
   | 3   m-1|
Condiția: m² - 7 ≠ 0 → m ≠ ±√7

9. Aplicații Practice – Probleme din Viața Reală

Problema 1: Bănci și Scaune

Într-o sală sunt bănci cu 3 locuri și bănci cu 4 locuri. În total sunt 20 de bănci și 68 de locuri. Câte bănci de fiecare tip sunt?

Rezolvare:

Fie x = numărul de bănci cu 3 locuri
Fie y = numărul de bănci cu 4 locuri

x + y = 20        (total bănci)
3x + 4y = 68      (total locuri)

Metoda reducerii: înmulțim prima cu 3: 3x + 3y = 60
Scădem din a doua: (3x+4y) - (3x+3y) = 68 - 60 → y = 8
x = 20 - 8 = 12

Verificare: 12×3 + 8×4 = 36 + 32 = 68 ✓

Problema 2: Amestecuri

Un amestec de 10 litri conține sirop și apă. Dacă amestecul are 30% sirop, iar altul de 5 litri are 40% sirop, ce cantități trebuie amestecate pentru a obține 15 litri cu 35% sirop?

Rezolvare:

Fie x = litri din primul amestec (30%)
Fie y = litri din al doilea amestec (40%)

x + y = 15          (total litri)
0.30x + 0.40y = 0.35×15 = 5.25   (total sirop)

Rezolvăm: 
x = 15 - y
0.30(15-y) + 0.40y = 5.25
4.5 - 0.30y + 0.40y = 5.25
0.10y = 0.75
y = 7.5 litri
x = 7.5 litri

Problema 3: Vârste

Tatăl are acum dublul vârstei fiului. Peste 10 ani, va avea cu 25 de ani mai mult decât fiul. Ce vârstă au?

Rezolvare:

Fie x = vârsta tatălui acum
Fie y = vârsta fiului acum

x = 2y             (1)
x + 10 = (y + 10) + 25   (2)

Din (2): x + 10 = y + 35 → x = y + 25
Dar din (1): x = 2y
Egalăm: 2y = y + 25 → y = 25
x = 50

Verificare peste 10 ani: tată 60, fiu 35, diferența 25 ✓

10. Sisteme de Ecuații cu O Singură Necunoscută

Da, acestea există și sunt mai simple!

Forma generală:

a₁x = b₁
a₂x = b₂

Ce căutăm: O valoare a lui x care să satisfacă AMBELE ecuații.

Exemplu:

3x = 12
5x = 20

Rezolvare: Din prima: x = 4, verificăm în a doua: 5×4 = 20 ✓

Cazuri:

1. Soluție unică: când x găsit din prima ecuație verifică și a doua
2. Nicio soluție: când x găsit din prima NU verifică a doua
3. Infinit de soluții: doar dacă ecuațiile sunt identice (ceea ce e trivial)

Exemplu fără soluție:

2x = 6  → x = 3
3x = 10 → x = 10/3
Contradicție: nu există un x care să fie simultan 3 și 10/3

11. Strategii de Rezolvare – Cum Alegi Metoda?

Metoda 1: Substituția

Alege când:

• O ecuație are coeficientul 1 la o necunoscută
• Poți exprima ușor o necunoscută
• Coeficienții sunt mici

Metoda 2: Reducerea

Alege când:

• Coeficienții sunt “prietenoși” pentru eliminare
• Nu poți exprima ușor o necunoscută
• Vrei să eviți fracții

Metoda 3: Cramer

Alege când:

• Coeficienții sunt numere
• Vrei o metodă sistematică
• Lucrezi cu parametri

Metoda 4: Grafică

Alege când:

• Vrei o reprezentare vizuală
• Soluțiile sunt numere întregi
• Ești la început și vrei să înțelegi conceptul

12. Verificarea Soluției – Obligatoriu!

Niciodată să nu sări peste verificarea în AMBELE ecuații!

Exemplu: Pentru sistemul:

2x + 3y = 13
x - y = 1

Am găsit x=4, y=3

Verificare:

• În prima: 2×4 + 3×3 = 8 + 9 = 17? Nu, 8+9=17 ≠ 13 ✗
• Deci soluția e greșită! (corect e x=3.2, y=2.2)

Verificarea corectă:
Corect ar fi fost: 2×4 + 3×3 = 8 + 9 = 17 ≠ 13, deci greșit.

Concluzie: Să-ți spun ceva direct

Sistemele de ecuații nu sunt o bătaie de cap algebrică. Sunt modalitatea de a găsi punctul de echilibru între două condiții, de a rezolva probleme cu două variabile interdependente.

Cele mai multe greșeli vin din:

1. Greșeli de calcul la înmulțirea ecuațiilor
2. Semne greșite la scădere
3. Verificarea incompletă a soluției
4. Confuzia între metode

Așa că ia o foaie și rezolvă acum trei sisteme cu trei metode diferite:

1. Cu substituția:

   x + y = 7
   2x - y = 8

2. Cu reducerea:

   3x + 2y = 16
   2x - 3y = 5

3. Cu Cramer:

   4x + y = 9
   3x - 2y = 4

Verifică-ți răspunsurile:

1. x=5, y=2 (5+2=7, 10-2=8)
2. x=4, y=2 (12+4=16, 8-6=2)
3. Δ=-11, Δx=-22, Δy=7 → x=2, y=1 (8+1=9, 6-2=4)

Pentru că puterea adevărată a sistemelor de ecuații nu este în rezolvarea lor mecanică, ci în înțelegerea că ele modelează realități complexe cu două variabile. O dată ce vezi că problemele de amestecuri, vârste, bani, distanțe se reduc la găsirea unui punct de intersecție, matematica devine o unealtă puternică.

Sfat de final: Încearcă întotdeauna să vizualizezi geometric sistemul. Chiar dacă rezolvi algebric, gândește-te la dreptele reprezentate. Dacă ai două ecuații contradictorii (paralele), vei obține o contradicție algebrică. Dacă ai două ecuații dependente (aceeași dreaptă), vei obține o identitate. Această legătură între algebră și geometrie este esența frumuseții matematicii!