Analiză și Rezolvare: Exerciții Tipice din „Proporții și Procente – Set Antrenament” – Ghid Complet pentru Evaluare

Ce trebuie să știi înainte:
Pentru a înțelege și rezolva cu ușurință acest set de exerciții, asigură-te că ai o bază solidă în următoarele concepte teoretice:

1. Proporții și Proprietatea Fundamentală: Dacă a/b = c/d, atunci a * d = b * c.
2. Procente și Transformări: p% dintr-un număr N = (p/100) * N. O creștere cu p% înseamnă N + p% din N, adică N * (1 + p/100).
3. Calcul cu Numere Reale și Fracții: Operații de bază și simplificări.
4. Ecuații cu o Necunoscută: Izolarea necunoscutei.
5. Divizibilitate (pentru ultimul exercițiu).

Bun, hai să intrăm în materie. PDF-ul acesta este o comoară de exerciții care explorează practic două mari idei: proporționalitatea și procentele. Ele nu sunt doar formule, sunt moduri de a descrie lumea: prețuri, reduceri, părți dintr-un întreg. Uite cum să le „dezmiți” pe fiecare.

---

Metodologia Generală: Pașii de Aur

Indiferent de exercițiu, urmează această rețetă:

1. RECUNOAȘTE TIPUL: Este o proporție? Este un calcul de procente? E o problemă de preț unitar?
2. APLICĂ REGULA CHEIE: Folosește proprietatea fundamentală a proporțiilor sau formula procentuală.
3. REZOLVĂ PAS CU PAS: Nu sări peste pași. Transformă procentele în fracții, simplifică, izolează necunoscuta.
4. VERIFICĂ: Înlocuiește rezultatul în ecuația inițială. Are sens? Dacă ai găsit un preț, este realist?

---

Taxonomia Exercițiilor

TIPUL 1: Proporții și Proprietatea Fundamentală

Ce testează? Capacitatea de a manipula egalități de rapoarte pentru a afla o necunoscută sau o expresie.
Regula Cheie: Într-o proporție a/b = c/d, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: a * d = b * c.

---

Exercițiu Exemplu 1 (din listă):

• Cerința: Dacă 3a = 2b și b ≠ 0, atunci a/b este egal cu:
• Rezolvare Pas cu Pas:
  1. Pasul 1: Scopul. Trebuie să aflăm raportul a/b. Avem o relație care leagă a și b: 3a = 2b.
  2. Pasul 2: Izolăm raportul. Pentru a obține a/b, putem „arunca” b în partea dreaptă și coeficienții în partea stângă. Din 3a = 2b, împărțim ambii membri la b (posibil pentru că b ≠ 0): (3a)/b = 2.
  3. Pasul 3: Izolăm a/b. Acum împărțim ambii membri la 3: a/b = 2/3.
• Răspuns Final: 2/3

---

Exercițiu Exemplu 2 (din listă):

• Cerința: Dacă a/2 = 10/b, atunci a * b este egal cu:
• Rezolvare Pas cu Pas:
  1. Pasul 1: Recunoaște tipul. Este o proporție clară: a/2 = 10/b.
  2. Pasul 2: Aplică proprietatea fundamentală. Produsul mezilor = produsul extremilor. Mezii sunt 2 și 10. Extremii sunt a și b.
  3. Pasul 3: Scrie ecuația: a * b = 2 * 10.
  4. Pasul 4: Calculează: a * b = 20. Observă că nu a trebuit să aflăm a și b separat!
• Răspuns Final: 20

---

Ce mai poate pica?

• Să-ți dea proporția x/5 = y/7 și să ceară valoarea lui 7x - 5y.
• Să ceară să afli o necunoscută într-o proporție simplă, ca în exercițiul cu 1/2 = a/3 (răspuns: a=1.5).

---

TIPUL 2: Procente Directe și Aflarea Părții

Ce testează? Abilitatea de a calcula un procent dintr-un număr dat.
Regula Cheie: p% din N = (p/100) * N. Înmulțești numărul cu procentul scris ca fracție zecimală sau fracție ordinară.

---

Exercițiu Exemplu 1 (din listă):

• Cerința: Numărul care reprezintă 20% din 50 este egal cu:
• Rezolvare Pas cu Pas:
  1. Pasul 1: Transformă procentul. 20% = 20/100 = 1/5 = 0.2.
  2. Pasul 2: Aplică regula. 20% din 50 = (20/100) * 50 = (1/5) * 50.
  3. Pasul 3: Calculează. (1/5)*50 = 50/5 = 10.
• Răspuns Final: 10

---

Exercițiu Exemplu 2 (din listă):

• Cerința: Din cei 400 de pomi fructiferi ai unei livezi, 50% sunt pruni. Numărul prunilor din livadă este egal cu:
• Rezolvare Pas cu Pas:
  1. Pasul 1: Identifică datele. Total pomi (N) = 400. Procentul prunilor (p%) = 50%.
  2. Pasul 2: Aplică regula. 50% din 400 = (50/100) * 400.
  3. Pasul 3: Simplifică și calculează. (1/2) * 400 = 400/2 = 200.
• Răspuns Final: 200

---

Ce mai poate pica?

• Să ceară 10% din 50 (răspuns: 5), 15% din 200 (răspuns: 30) sau 3/4 din 1600 (răspuns: 1200). Atenție, 3/4 este echivalent cu 75%.
• Să dea procentul și partea, cerând întregul. (Ex: 30% dintr-un număr este 60. Care este numărul? N = 60 / 0.30 = 200).

---

TIPUL 3: Probleme de Preț Unitar și Proporționalitate Directă

Ce testează? Înțelegerea că prețul este direct proporțional cu cantitatea.
Regula Cheie: Găsește prețul pentru o unitate (1 kg, 1 bucată), apoi înmulțești cu cantitatea dorita.

---

Exercițiu Exemplu (din listă):

• Cerința: Cinci kilograme de mere costă 17,5 lei. Două kilograme de mere, de același fel, costă:
• Rezolvare Pas cu Pas:
  1. Pasul 1: Află prețul unitar. Prețul pentru 1 kg = 17,5 lei / 5 kg = 3,5 lei/kg.
  2. Pasul 2: Calculează prețul pentru cantitatea cerută. Preț pentru 2 kg = 2 kg * 3,5 lei/kg = 7 lei.
• Răspuns Final: 7 lei

---

Ce mai poate pica?

• Să ceară cantitatea cumpărată cu o sumă de bani dată.
• Să implice și o reducere procentuală după calculul prețului.

---

TIPUL 4: Modificări Procentuale (Scumpiri/Reduceri)

Ce testează? Capacitatea de a aplica o creștere sau o scădere procentuală asupra unei valori inițiale.
Regula Cheie: O creștere cu p%: Noua Valoare = Valoarea Veche * (1 + p/100). O reducere cu p%: Noua Valoare = Valoarea Veche * (1 - p/100).

---

Exercițiu Exemplu (din listă):

• Cerința: Un obiect costă 100 de lei. După o scumpire cu 10%, noul preț al obiectului este egal cu:
• Rezolvare Pas cu Pas:
  1. Metoda 1 (Prin adăugare):
     • Calculează 10% din 100 lei: (10/100)*100 = 10 lei.
     • Adaugă la prețul inițial: 100 + 10 = 110 lei.
  2. Metoda 2 (Directă, cu formula):
     • Nou preț = 100 * (1 + 10/100) = 100 * 1.10 = 110 lei.
• Răspuns Final: 110 lei

---

Ce mai poate pica?

• O reducere cu un anumit procent.
• Două modificări succesive (ex: o scumpire și apoi o reducere).

---

TIPUL 5: Probleme Combinate (Proporții care conduc la o valoare)

Ce testează? Abilitatea de a combina o proporție dată într-un calcul expresie mai complexă.
Strategie: Folosește proporția pentru a exprima o variabilă în funcție de cealaltă, apoi înlocuiește în expresia de calculat.

---

Exercițiu Exemplu (din listă):

• Cerința: Dacă (x-2)/5 = y/3, atunci rezultatul calculului 3x - 5y este:
• Rezolvare Pas cu Pas:
  1. Pasul 1: Aplică proprietatea fundamentală proporției. Din (x-2)/5 = y/3 obținem: 3*(x-2) = 5*y → 3x - 6 = 5y.
  2. Pasul 2: Manipulează expresia dorită. Observă că expresia noastră este 3x - 5y. Din ecuația obținută, 5y = 3x - 6.
  3. Pasul 3: Înlocuiește. 3x - 5y = 3x - (3x - 6) = 3x - 3x + 6 = 6.
• Răspuns Final: 6

---

TIPUL 6: Numere și Mulțimi (Divizibilitate și Intervale)

Ce testează? Cunoașterea conceptelor de divizibilitate și înțelegerea notației de interval.
Regulă: Un număr e divizibil cu 5 dacă ultima sa cifră este 0 sau 5. Intervalul [3, 20) înseamnă numerele ≥3 și <20.

---

Exercițiu Exemplu (din listă):

• Cerința: Cel mai mare număr natural divizibil cu 5 din intervalul [3,20) este:
• Rezolvare Pas cu Pas:
  1. Pasul 1: Înțelege intervalul. [3,20) include numerele naturale: 3, 4, 5, 6, …, 18, 19. 20 nu este inclus pentru că paranteza este rotundă.
  2. Pasul 2: Găsește numerele divizibile cu 5. În acest interval, multiplii lui 5 sunt: 5, 10, 15.
  3. Pasul 3: Alege-l pe cel mai mare. Dintre 5, 10 și 15, cel mai mare este 15.
• Răspuns Final: 15

---

Concluzie & Strategie de Învățare

Acum ai harta pentru acest tip de probleme! De fiecare dată când vezi un exercițiu:

1. Scanează-l pentru cuvinte cheie: procent, costă, proporție, din, intervalul.
2. Alocă-l unuia dintre cele 6 tipuri de mai sus.
3. Atacă-l cu regula specifică.

Exercițiu de antrenament pentru tine:
Rezolvă exercițiile rămase din listă pe care nu le-am explicitat aici (ex: a/2 = b/3 și expresia 1.5 - a - b, x/2 = 3/4 și 4*x) și clasează-le în tipologiile prezentate. Exersând acest proces de clasificare și aplicare a regulii, vei dezvolta un reflex care te va face rapid și precis în rezolvarea problemelor.

Intersecția dintre mulțimea problemelor pe care le vei primi și mulțimea celor pe care nu le vei ști rezolva este, acum, o mulțime care se micșorează rapid. Continuă să o golești!