lectiipenet.ro

Author: admin

  • Cum Gândește Calculatorul? Un Ghid Super Simplu pentru Problemele de Bac!

    Bună! Dacă te uiți la problemele astea și crezi că sunt rocket science, hai să schimbăm asta împreună. O să-ți arăt un secret: informaticienii nu sunt super-eroi, ei doar știu cum “să vorbească” cu calculatorul. Hai să învățăm și noi această limbă!

    🤖 Cum Gândește un Calculator?

    Imaginează-ți că calculatorul e un soldat foarte ascultător, dar EXTREM de literal. Nu înțelege glume, nu ghicește, nu presupune. Face EXACT ce-i spui.

    De exemplu:

    • Dacă îi spui „alege un număr mai mare ca 10”, el va lua 11, 12, 13… dar NU 10.
    • Dacă îi spui „împarte 11 la 5”, el poate da 2 (dacă sunt numere întregi) sau 2.2 (dacă sunt numere cu virgulă).

    🧠 Metoda Magică: Cum Să Gândești ca un Informatician

    Uită de formule complicate. Urmărește acești 3 pași simpli de fiecare dată:

    1. 📖 CITESTE ca un ROBOT: Ia cerința și translateaz-o în cuvinte simple. “Dacă și numai dacă” înseamnă că trebuie să fie perfect exact.
    2. 🎯 DESENEAZĂ pe HÂRTIE: Nu încerca să rezolvi în minte. Ia un creion și:
      • Desenează o linie a numerelor
      • Hașurează zonele care SUNT bune
      • Hașurează zonele care NU sunt bune
    3. 🔍 TESTEAZĂ cu NUMERE: Ia un exemplu concret și bagă-l în formulă. Dacă merge, bine. Dacă nu, vezi de ce.

    📚 Să Începem cu Problemele Tale!

    Am grupat problemele tale în tipuri. Hai să le luăm pe rând.

    TIPUL 1: “Unde e Numărul?” – Probleme cu Intervale

    Ce testează? Dacă înțelegi cum să descrii o zonă pe linia numerelor.

    Regula Cheie: Desenează întotdeauna linia numerelor!

    Exemplul 1 (Problema 2):

    Indicați intervalul căruia îi aparține valoarea memorată în variabila întreagă x, dacă și numai dacă expresia C/C++ alăturată are valoarea 1.
    (x<=2020) || (x>=2025)

    Rezolvare Pas cu Pas:

    1. Citim ca un Robot: Expresia spune că este adevărată (are valoarea 1) când:
      • SAU x este mai mic sau egal cu 2020
      • SAU x este mai mare sau egal cu 2025
    2. Desenăm pe Hârtie:Linia numerelor: ...2018---2019---2020---2021---2022---2023---2024---2025---2026...
      • Hașurează tot ce este la stânga lui 2020 (INCLUSIV 2020) ✓
      • Hașurează tot ce este la dreapta lui 2025 (INCLUSIV 2025) ✓
      • Ce a rămas nehașurat? 2021, 2022, 2023, 2024. Acesta este intervalul pentru care expresia este 0 (fals).
    3. Gândim invers: Problema ne întreabă: când este expresia 1? Noi am găsit când este 0.
      • Dacă expresia este 1 când x NU este în {2021, 2022, 2023, 2024}, atunci când este 0, x TREBUIE să fie în acest set.
    4. Testăm cu numere:
      • Dacă x = 2019 → (2019<=2020)=Adevărat → Expresia = 1 (Corect, e în zona hașurată)
      • Dacă x = 2023 → (2023<=2020)=Fals și (2023>=2025)=Fals → Expresia = 0 (Corect, e în zona nehașurată)

    Răspuns Final: Expresia are valoarea 1 când x NU se află în intervalul [2021, 2024]. Adică, este 0 când x este în [2021, 2024]. Dar variantele oferă intervale pentru care x aparține și expresia este 1. Fii atent! Dacă x e în (2020, 2025), adică 2021-2024, expresia este 0. Deci varianta corectă este una care NU este acest interval. Variantele sunt ciudat scrise, dar ideea este să alegi complementul zonei hașurate. Răspunsul logic este că x aparține reuniunii intervalelor (-∞,2020] și [2025,∞). Din variante, niciuna nu corespunde perfect, dar cea mai apropiată idee este că x nu e în (2020,2025).

    Exemplul 2 (Problema 3):

    Indicați o expresie care are valoarea 1 dacă și numai dacă numărul x aparține intervalului [m, n], dar NU și intervalului (p, q).

    Rezolvare Pas cu Pas:

    1. Citim ca un Robot: Vrem ca x să fie între m și n (inclusiv), dar să NU fie între p și q (exclusiv, deci fără capete).
    2. Desenăm pe Hârtie: Linia: m-----p======q-----n Zona [m, n] este totul de la m la n.
      Zona interzisă (p, q) este semnul =.
      Vrem zona hașurată: [m, p] și [q, n]. ATENȚIE: Deoarece intervalul interzis este (p,q) (fără capete), p și q SUNT permise în răspunsul nostru!
    3. Gândim logic: Cum zicem “x este între m și n” în C++? (x>=m && x<=n).
      Cum zicem “x NU este între p și q”? Aici e cheia! Putem spune !(x>p && x<q) (atenție la semnele fără egal!).
      Combinând: (x>=m && x<=n) && !(x>p && x<q).
    4. Ne uităm la variante: Ele sunt scrise cu || (SAU). Asta înseamnă că descriu reuniunea celor două bucăți din desen!
      • Prima bucată: x>=m && x<=p
      • A doua bucată: x>=q && x<=n
        Punând-le împreună cu OR: (x>=m && x<=p) || (x>=q && x<=n).

    Răspuns Final: Compară cu variantele date. Expresia corectă trebuie să fie x>=m && x<=p || x>=q && x<=n (echivalent cu varianta d).

    TIPUL 2: “Adevărat sau Fals?” – Probleme cu Logica Simplă

    Ce testează? Dacă înțelegi operațiile logice de bază: ! (NOT), || (OR), && (AND).

    Regula Cheie: ! (NOT) întoarce totul pe dos. Dacă ceva era Adevărat, devine Fals și invers.

    Exemplu (Problema 6):

    Variabila x este de tip întreg. Indicați o expresie care are valoarea 1 dacă și numai dacă expresia C/C++ alăturată are valoarea 1.
    (Probabil expresia inițială este (x>=3 && x<10)).

    Rezolvare Pas cu Pas:

    1. Presupunem expresia inițială: Fie ea (x>=3 && x<10). Aceasta este 1 când x este 3,4,5,6,7,8,9.
    2. Ne uităm la variante: Ele folosesc !(x<3 || x>=10). Hai să-o verificăm.
      • (x<3 || x>=10) descrie tot ce NU este în intervalul nostru: numerele <3 SAU >=10.
      • Punând ! în față, zicem “NU este adevărat că x este <3 SAU >=10”. Adică, x NU e <3 și NU e >=10. Rămâne doar x>=3 && x<10. Perfect!
    3. Testăm cu numere:
      • Pentru x=5: (5<3 || 5>=10) → (Fals || Fals) → Fals. !(Fals) → Adevărat (Corect, 5 e în interval).
      • Pentru x=2: (2<3 || 2>=10) → (Adevărat || Fals) → Adevărat. !(Adevărat) → Fals (Corect, 2 nu e în interval).

    Răspuns Final: Varianta cu !(x<3 || x>=10) este corectă. Asta este Legea lui De Morgan în acțiune! Ea spune că !(A || B) este același lucru cu !A && !B.

    💡 Planul Tău de Acțiune (Temă pentru Acasă)

    1. Ia problema 4 (cu numerele de două cifre). Desenează linia numerelor de la 0 la 100. Hașurează unde SUNT numerele de două cifre (de la 10 la 99). Acum formulează o regulă: “NU conține niciun număr de două cifre” înseamnă că intervalul [x,y] trebuie să fie complet în afara zonei hașurate. Unde poate fi? Fie la stânga (deci y<10), fie la dreapta (deci x>99). Scrie asta ca expresie logică.
    2. Ia problema 1 (cea cu 11/5). Gândește-te: ce tip de variabile folosești? Dacă sunt int, împărțirea este întreagă. Dacă sunt float sau double, împărțirea este reală. Ce tip au variabilele în expresia dată? Acolo e cheia.

    ✨ Motivare Finală

    Uite, ai învățat azi cel mai important skill: să desenezi și să verifici cu numere simple. Un informatician bun nu este cel care ține minte toate formulele, ci cel care știe să spargă o problemă mare în bucăți mici și clare.

    Data viitoare când vezi o problemă, strigă în sinea ta: “HARTIE SI CREION!” și apoi “HAI SA TESTAM CU UN NUMAR!“. Vei fi surprins cât de multe probleme devin ușoare.

    Ai reușit să înțelegi până aici? Bravo! Ești pe drumul cel bun să devii un mic vorbitor al limbajului calculatoarelor. 🚀

  • Analiză și Rezolvare: Exerciții Tipice din „Proporții și Procente – Set Antrenament” – Ghid Complet pentru Evaluare

    Ce trebuie să știi înainte:
    Pentru a înțelege și rezolva cu ușurință acest set de exerciții, asigură-te că ai o bază solidă în următoarele concepte teoretice:

    1. Proporții și Proprietatea Fundamentală: Dacă a/b = c/d, atunci a * d = b * c.
    2. Procente și Transformări: p% dintr-un număr N = (p/100) * N. O creștere cu p% înseamnă N + p% din N, adică N * (1 + p/100).
    3. Calcul cu Numere Reale și Fracții: Operații de bază și simplificări.
    4. Ecuații cu o Necunoscută: Izolarea necunoscutei.
    5. Divizibilitate (pentru ultimul exercițiu).

    Bun, hai să intrăm în materie. PDF-ul acesta este o comoară de exerciții care explorează practic două mari idei: proporționalitatea și procentele. Ele nu sunt doar formule, sunt moduri de a descrie lumea: prețuri, reduceri, părți dintr-un întreg. Uite cum să le „dezmiți” pe fiecare.

    Metodologia Generală: Pașii de Aur

    Indiferent de exercițiu, urmează această rețetă:

    1. RECUNOAȘTE TIPUL: Este o proporție? Este un calcul de procente? E o problemă de preț unitar?
    2. APLICĂ REGULA CHEIE: Folosește proprietatea fundamentală a proporțiilor sau formula procentuală.
    3. REZOLVĂ PAS CU PAS: Nu sări peste pași. Transformă procentele în fracții, simplifică, izolează necunoscuta.
    4. VERIFICĂ: Înlocuiește rezultatul în ecuația inițială. Are sens? Dacă ai găsit un preț, este realist?

    Taxonomia Exercițiilor

    TIPUL 1: Proporții și Proprietatea Fundamentală

    Ce testează? Capacitatea de a manipula egalități de rapoarte pentru a afla o necunoscută sau o expresie.
    Regula Cheie: Într-o proporție a/b = c/d, produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: a * d = b * c.

    Exercițiu Exemplu 1 (din listă):

    • Cerința: Dacă 3a = 2b și b ≠ 0, atunci a/b este egal cu:
    • Rezolvare Pas cu Pas:
      1. Pasul 1: Scopul. Trebuie să aflăm raportul a/b. Avem o relație care leagă a și b: 3a = 2b.
      2. Pasul 2: Izolăm raportul. Pentru a obține a/b, putem „arunca” b în partea dreaptă și coeficienții în partea stângă. Din 3a = 2b, împărțim ambii membri la b (posibil pentru că b ≠ 0): (3a)/b = 2.
      3. Pasul 3: Izolăm a/b. Acum împărțim ambii membri la 3: a/b = 2/3.
    • Răspuns Final: 2/3

    Exercițiu Exemplu 2 (din listă):

    • Cerința: Dacă a/2 = 10/b, atunci a * b este egal cu:
    • Rezolvare Pas cu Pas:
      1. Pasul 1: Recunoaște tipul. Este o proporție clară: a/2 = 10/b.
      2. Pasul 2: Aplică proprietatea fundamentală. Produsul mezilor = produsul extremilor. Mezii sunt 2 și 10. Extremii sunt a și b.
      3. Pasul 3: Scrie ecuația: a * b = 2 * 10.
      4. Pasul 4: Calculează: a * b = 20. Observă că nu a trebuit să aflăm a și b separat!
    • Răspuns Final: 20

    Ce mai poate pica?

    • Să-ți dea proporția x/5 = y/7 și să ceară valoarea lui 7x - 5y.
    • Să ceară să afli o necunoscută într-o proporție simplă, ca în exercițiul cu 1/2 = a/3 (răspuns: a=1.5).

    TIPUL 2: Procente Directe și Aflarea Părții

    Ce testează? Abilitatea de a calcula un procent dintr-un număr dat.
    Regula Cheie: p% din N = (p/100) * N. Înmulțești numărul cu procentul scris ca fracție zecimală sau fracție ordinară.

    Exercițiu Exemplu 1 (din listă):

    • Cerința: Numărul care reprezintă 20% din 50 este egal cu:
    • Rezolvare Pas cu Pas:
      1. Pasul 1: Transformă procentul. 20% = 20/100 = 1/5 = 0.2.
      2. Pasul 2: Aplică regula. 20% din 50 = (20/100) * 50 = (1/5) * 50.
      3. Pasul 3: Calculează. (1/5)*50 = 50/5 = 10.
    • Răspuns Final: 10

    Exercițiu Exemplu 2 (din listă):

    • Cerința: Din cei 400 de pomi fructiferi ai unei livezi, 50% sunt pruni. Numărul prunilor din livadă este egal cu:
    • Rezolvare Pas cu Pas:
      1. Pasul 1: Identifică datele. Total pomi (N) = 400. Procentul prunilor (p%) = 50%.
      2. Pasul 2: Aplică regula. 50% din 400 = (50/100) * 400.
      3. Pasul 3: Simplifică și calculează. (1/2) * 400 = 400/2 = 200.
    • Răspuns Final: 200

    Ce mai poate pica?

    • Să ceară 10% din 50 (răspuns: 5), 15% din 200 (răspuns: 30) sau 3/4 din 1600 (răspuns: 1200). Atenție, 3/4 este echivalent cu 75%.
    • Să dea procentul și partea, cerând întregul. (Ex: 30% dintr-un număr este 60. Care este numărul? N = 60 / 0.30 = 200).

    TIPUL 3: Probleme de Preț Unitar și Proporționalitate Directă

    Ce testează? Înțelegerea că prețul este direct proporțional cu cantitatea.
    Regula Cheie: Găsește prețul pentru o unitate (1 kg, 1 bucată), apoi înmulțești cu cantitatea dorita.

    Exercițiu Exemplu (din listă):

    • Cerința: Cinci kilograme de mere costă 17,5 lei. Două kilograme de mere, de același fel, costă:
    • Rezolvare Pas cu Pas:
      1. Pasul 1: Află prețul unitar. Prețul pentru 1 kg = 17,5 lei / 5 kg = 3,5 lei/kg.
      2. Pasul 2: Calculează prețul pentru cantitatea cerută. Preț pentru 2 kg = 2 kg * 3,5 lei/kg = 7 lei.
    • Răspuns Final: 7 lei

    Ce mai poate pica?

    • Să ceară cantitatea cumpărată cu o sumă de bani dată.
    • Să implice și o reducere procentuală după calculul prețului.

    TIPUL 4: Modificări Procentuale (Scumpiri/Reduceri)

    Ce testează? Capacitatea de a aplica o creștere sau o scădere procentuală asupra unei valori inițiale.
    Regula Cheie: O creștere cu p%: Noua Valoare = Valoarea Veche * (1 + p/100). O reducere cu p%: Noua Valoare = Valoarea Veche * (1 - p/100).

    Exercițiu Exemplu (din listă):

    • Cerința: Un obiect costă 100 de lei. După o scumpire cu 10%, noul preț al obiectului este egal cu:
    • Rezolvare Pas cu Pas:
      1. Metoda 1 (Prin adăugare):
        • Calculează 10% din 100 lei: (10/100)*100 = 10 lei.
        • Adaugă la prețul inițial: 100 + 10 = 110 lei.
      2. Metoda 2 (Directă, cu formula):
        • Nou preț = 100 * (1 + 10/100) = 100 * 1.10 = 110 lei.
    • Răspuns Final: 110 lei

    Ce mai poate pica?

    • O reducere cu un anumit procent.
    • Două modificări succesive (ex: o scumpire și apoi o reducere).

    TIPUL 5: Probleme Combinate (Proporții care conduc la o valoare)

    Ce testează? Abilitatea de a combina o proporție dată într-un calcul expresie mai complexă.
    Strategie: Folosește proporția pentru a exprima o variabilă în funcție de cealaltă, apoi înlocuiește în expresia de calculat.

    Exercițiu Exemplu (din listă):

    • Cerința: Dacă (x-2)/5 = y/3, atunci rezultatul calculului 3x - 5y este:
    • Rezolvare Pas cu Pas:
      1. Pasul 1: Aplică proprietatea fundamentală proporției. Din (x-2)/5 = y/3 obținem: 3*(x-2) = 5*y → 3x - 6 = 5y.
      2. Pasul 2: Manipulează expresia dorită. Observă că expresia noastră este 3x - 5y. Din ecuația obținută, 5y = 3x - 6.
      3. Pasul 3: Înlocuiește. 3x - 5y = 3x - (3x - 6) = 3x - 3x + 6 = 6.
    • Răspuns Final: 6

    TIPUL 6: Numere și Mulțimi (Divizibilitate și Intervale)

    Ce testează? Cunoașterea conceptelor de divizibilitate și înțelegerea notației de interval.
    Regulă: Un număr e divizibil cu 5 dacă ultima sa cifră este 0 sau 5. Intervalul [3, 20) înseamnă numerele ≥3 și <20.

    Exercițiu Exemplu (din listă):

    • Cerința: Cel mai mare număr natural divizibil cu 5 din intervalul [3,20) este:
    • Rezolvare Pas cu Pas:
      1. Pasul 1: Înțelege intervalul. [3,20) include numerele naturale: 3, 4, 5, 6, …, 18, 19. 20 nu este inclus pentru că paranteza este rotundă.
      2. Pasul 2: Găsește numerele divizibile cu 5. În acest interval, multiplii lui 5 sunt: 5, 10, 15.
      3. Pasul 3: Alege-l pe cel mai mare. Dintre 5, 10 și 15, cel mai mare este 15.
    • Răspuns Final: 15

    Concluzie & Strategie de Învățare

    Acum ai harta pentru acest tip de probleme! De fiecare dată când vezi un exercițiu:

    1. Scanează-l pentru cuvinte cheie: procent, costă, proporție, din, intervalul.
    2. Alocă-l unuia dintre cele 6 tipuri de mai sus.
    3. Atacă-l cu regula specifică.

    Exercițiu de antrenament pentru tine:
    Rezolvă exercițiile rămase din listă pe care nu le-am explicitat aici (ex: a/2 = b/3 și expresia 1.5 - a - b, x/2 = 3/4 și 4*x) și clasează-le în tipologiile prezentate. Exersând acest proces de clasificare și aplicare a regulii, vei dezvolta un reflex care te va face rapid și precis în rezolvarea problemelor.

    Intersecția dintre mulțimea problemelor pe care le vei primi și mulțimea celor pe care nu le vei ști rezolva este, acum, o mulțime care se micșorează rapid. Continuă să o golești!

  • EN Subiectul 1 ex 1Masterul Exercițiilor de Matematică: Tipurile Care Pică Sigur, Rezolvate Pas cu Pas

    Materia pe care trebuie să o stăpânești înainte:

    1. Ordinea Operațiilor (P.I.A. – Paranteze, Înmulțiri/Împărțiri, Adunări/Scăderi)
    2. Divizibilitate și Criteriile de Divizibilitate (cu 2, 3, 5, 10)
    3. Divizori și Multipli (cum găsești TOȚI divizorii unui număr)
    4. Proprietățile Numerelor Pare și Impare
    5. Scrierea Numerelor în Baza 10 (forma abc)

    Bun, hai să vorbim serios. Uite-te la lista ta de exerciții. Toate par simple, dar fiecare reprezintă un tip precis pe care examinatorii îl iubesc. Sunt ca niște formule magice: dacă știi incantația (metoda), rezultatul apare de la sine. Uite cele mai comune tipuri, cu exemple luate direct din listă și rezolvate în detaliu, ca să știi EXACT ce să faci când îl vezi.

    TIPUL 1: Calcule cu Ordinea Operațiilor (P.I.A.)

    Scopul: Să te păcălească să calculezi în ordinea greșită.
    Regula de Aur: Paranteze → Inmulțiri și Împărțiri → Adunări și Scăderi.

    Exercițiul 1: 52 - 2 · (25 - 5)

    • Cerința: Efectuați calculul.
    • Rezolvare Pas cu Pas:
      1. Pasul 1: Parantezele. Întotdeauna începem cu ele.
        (25 - 5) = 20
        Acum expresia devine: 52 - 2 · 20
      2. Pasul 2: Înmulțirea. Apoi facem înmulțirile și împărțirile.
        2 · 20 = 40
        Expresia devine: 52 - 40
      3. Pasul 3: Scăderea. În final, adunările și scăderile.
        52 - 40 = 12
    • Răspuns Final: 12

    Exercițiul 2: 2 + 3 · 5

    • Cerința: Efectuați calculul.
    • Rezolvare Pas cu Pas:
      1. Pasul 1: Nu sunt paranteze. Trecem la următorul pas.
      2. Pasul 2: Înmulțirea.
        3 · 5 = 15
        Expresia devine: 2 + 15
      3. Pasul 3: Adunarea.
        2 + 15 = 17
    • Răspuns Final: 17 (NU 25! Nu faci (2+3)·5).

    TIPUL 2: Divizibilitate – „Găsește-l pe cel care se împarte!”

    Scopul: Să verifici dacă știi criterii simple.
    Truc: Cu 10 → ultima cifră 0. Cu 3 → suma cifrelor se împarte exact la 3.

    Exercițiul 1: Dintre numerele 2020, 2021, 2022 şi 2023, numărul divizibil cu 3 este:

    • Cerința: Identificați numărul divizibil cu 3.
    • Rezolvare Pas cu Pas:
      1. Pasul 1: Adu-ți aminte criteriul. Un număr e divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.
      2. Pasul 2: Calculează suma cifrelor pentru fiecare număr.
        • 2020 → 2+0+2+0 = 4 (4 nu se împarte exact la 3)
        • 2021 → 2+0+2+1 = 5 (5 nu se împarte exact la 3)
        • 2022 → 2+0+2+2 = 6 (6 : 3 = 2, rest 0 → DA!)
        • 2023 → 2+0+2+3 = 7 (7 nu se împarte exact la 3)
      3. Pasul 3: Identifică numărul. Singurul cu suma cifrelor divizibilă cu 3 este 2022.
    • Răspuns Final: 2022

    Exercițiul 2: Numărul natural scris în baza zece, de forma 17x, divizibil cu 10, este egal cu:

    • Cerința: Completați cifra x pentru ca numărul 17x să fie divizibil cu 10.
    • Rezolvare Pas cu Pas:
      1. Pasul 1: Adu-ți aminte criteriul. Un număr e divizibil cu 10 dacă ultima lui cifră este 0.
      2. Pasul 2: Aplică la numărul 17x. Ultima cifră este x.
      3. Pasul 3: Concluzie. Pentru a fi divizibil cu 10, x trebuie să fie 0.
      4. Pasul 4: Scrie numărul. 17x cu x=0 devine 170.
    • Răspuns Final: 170

    TIPUL 3: Divizori și Sume – „Cine intră în familie?”

    Scopul: Să vezi dacă poți descompune un număr în toți factorii săi mai mici.
    Metodă: Găsești divizorii în perechi (1 și N, apoi 2 și N/2, etc.).

    Exercițiul: Suma tuturor numerelor naturale, care sunt divizori ai numărului 20, este egală cu:

    • Cerința: Găsiți toți divizorii lui 20 și adunați-i.
    • Rezolvare Pas cu Pas:
      1. Pasul 1: Găsirea divizorilor. Începem de la 1 și mergem în sus.
        • 20 : 1 = 20 → Divizori: 1 și 20
        • 20 : 2 = 10 → Divizori: 2 și 10
        • 20 : 3 nu dă rest 0.
        • 20 : 4 = 5 → Divizori: 4 și 5
        • Nu mai continuăm după 4 pentru că am ajuns deja la perechea (4,5) și următorul ar fi 5, deja găsit.
      2. Pasul 2: Lista divizorilor. Scriem divizorii în ordine: 1, 2, 4, 5, 10, 20.
      3. Pasul 3: Calculul sumei. Adunăm: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20.
        • 1+2=3
        • 3+4=7
        • 7+5=12
        • 12+10=22
        • 22+20=42
    • Răspuns Final: 42

    TIPUL 4: Puzzle-uri cu Numere (Logica + Condiții)

    Scopul: Să testeze gândirea logică și sintetizarea mai multor reguli.
    Metodă: Citești enunțul ca pe o rețetă. Aplici fiecare condiție pe rând.

    Exercițiul: Cel mai mic număr par de ordinul zecilor, format cu cifre identice, este numărul:

    • Cerința: Găsiți un număr care să îndeplinească 3 condiții: 1) e de ordinul zecilor, 2) e par, 3) are cifre identice, 4) e cel mai mic care face asta.
    • Rezolvare Pas cu Pas:
      1. Pasul 1: Decodifică „ordinul zecilor”. Înseamnă că numărul are două cifre.
      2. Pasul 2: Decodifică „par”. Înseamnă că ultima sa cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8.
      3. Pasul 3: Decodifică „cifre identice”. Înseamnă că cele două cifre sunt egale (ex: 11, 22, 33…).
      4. Pasul 4: Combină condițiile. Caut un număr de două cifre cu cifre egale (aa) care să fie par. Dacă cifrele sunt egale, atunci pentru a fi par, cifra a trebuie să fie ea însăși pară.
      5. Pasul 5: Găsește „cel mai mic”. Cifrele pare sunt 0,2,4,6,8.
        • Dacă a=0, numărul ar fi 00 = 0. Dar 0 nu este considerat un număr de ordinul zecilor (are doar o cifră semnificativă). De obicei, excludem această variantă.
        • Următoarea cifră pară este a=2. Numărul este 22.
      6. Pasul 6: Verifică. 22 are două cifre? Da. E par? Da. Cifrele sunt identice? Da. E cel mai mic care îndeplinește asta? Da, următorul ar fi 44, care e mai mare.
    • Răspuns Final: 22

    TIPUL 5: Împărțiri Simple – Câtul și Restul

    Scopul: Să înțelegi operația de împărțire dincolo de calculator.
    Regulă: Deîmpărțit : Împărțitor = Cât rest Rest.

    Exercițiul 1: Câtul împărţirii numărului 62 la 12 este numărul:

    • Cerința: Aflați câtul (rezultatul) împărțirii 62 la 12.
    • Rezolvare Pas cu Pas:
      1. Pasul 1: Gândește-te de câte ori încape 12 în 62.
        • 12 · 5 = 60 (încape de 5 ori)
        • 12 · 6 = 72 (depășește 62)
      2. Pasul 2: Identifică câtul. De câte ori încape fără a depăși? De 5 ori. Câtul este 5. (Restul este 62 - 60 = 2, dar cerința nu îl cere).
    • Răspuns Final: 5

    Exercițiul 2: Restul împărţirii numărului 24 la 10 este egal cu:

    • Cerința: Aflați restul împărțirii 24 la 10.
    • Rezolvare Pas cu Pas:
      1. Pasul 1: Gândește-te la împărțirea cu 10. Împărțirea la 10 „mută virgula” sau, pentru numere întregi, lasă ultima cifră ca rest.
      2. Pasul 2: Calculează.
        • 24 : 10 = 2 (câtul este 2, pentru că 2 · 10 = 20).
        • Restul este 24 - 20 = 4.
      3. Pasul 3 (truc rapid): Restul împărțirii unui număr la 10 este întotdeauna ultima sa cifră. Ultima cifră a lui 24 este 4.
    • Răspuns Final: 4

    Concluzie: Cum Îți Organizezi Victoria

    Acum ai o hartă de navație. Când vezi un exercițiu:

    1. Recunoaște tipul (e un calcul P.I.A.? E o problemă de divizibilitate?).
    2. Activează regula corectă din memorie.
    3. Execută calm, pas cu pas, evitant capcanele (mai ales cea a ordinii operațiilor).

    Exercițiu final pentru tine: Ia restul exercițiilor din listă (ex: 25 - 2 * 5, 25 - 5 * 3, etc.) și clasează-le singur în aceste 5 tipuri, apoi rezolvă-le aplicând metoda potrivită. Repetiția asta te va face imbatabil.

    Succes!

  • Funcții: Surjective, Bijective și Demonstrarea Inverselor – Algebra Întâlnirilor!

    Salutare! Azi intrăm în lumea relațiilor sociale dintre mulțimi! O funcție e ca o petrecere: intră oameni din mulțimea A, ies oameni din mulțimea B. Dar cum dansează ei împreună? Toți găsesc partener? Sunt unu-la-unu? Hai să vedem!

    1. Cele 4 Tipuri de Funcții – “Petrecerea Matematică” 🎉

    Într-o funcție ( f: A \to B ), avem 4 scenarii posibile:

    1. FUNCȚIE OARECARE – “Petrecere normală”

    • Fiecare invitat (din A) are un dans (în B)
    • Unii dansatori pot dansa cu mai mulți invitați
    • Unii dansatori pot sta pe bancă (fără partener)
    GRAFIC TEXT - FUNCȚIE OARECARE:
   A (Invitați)        B (Dansatori)
    ●───────→ ●        Ana → Maria
    ●───────→ ●        Ion → Maria (același dansator!)
    ●───────→ ●        Maria → George
    ●                  Andrei → ??? (nimeni? NU, TREBUIE pe cineva!)
                        (fiecare invitat TREBUIE să aibă partener)

    2. FUNCȚIE INJECTIVĂ – “Petrecere exclusivistă” 🎩

    Definiție: ( f ) este injectivă dacă diferiți invitați dansează cu dansatori DIFERIȚI!
    Formal: Dacă ( x_1 \neq x_2 ), atunci ( f(x_1) \neq f(x_2) )

    Regula simplă: O DANSATOARE ≠ MULTI INVITAȚI

    Test injectivitate: Dacă ( f(a) = f(b) ), atunci FORȚAT ( a = b )

    GRAFIC TEXT - INJECTIVĂ:
   A                   B
    ●───────→ ●        Ana → Maria
    ●───────→ ●        Ion → Georgiana (DIFERITĂ!)
    ●───────→ ●        Maria → Andreea (DIFERITĂ!)

REGULA: O dansatoare are CEL MULT un partener!

    Exemplu matematic: ( f: ℝ \to ℝ, f(x) = 2x + 3 ) este INJECTIVĂ
    Dovadă: Dacă ( f(a) = f(b) ), atunci ( 2a+3 = 2b+3 \Rightarrow 2a=2b \Rightarrow a=b )

    Contraexemplu: ( f(x) = x^2 ) NU e injectivă pe ℝ
    Pentru că ( f(2) = 4 ) și ( f(-2) = 4 ) (diferiți invitați, aceeași dansatoare!)

    3. FUNCȚIE SURJECTIVĂ – “Petrecere incluzivă” 🥳

    Definiție: ( f ) este surjectivă dacă TOȚI dansatorii dansează!
    Formal: Pentru orice ( y \in B ), există ( x \in A ) astfel încât ( f(x) = y )

    Regula simplă: NICIUN DANSATOR PE BANCĂ!

    GRAFIC TEXT - SURJECTIVĂ:
   A                   B
    ●───────→ ●        Ana → Maria
    ●───────→ ●        Ion → Georgiana
    ●───────→ ●        Maria → Andreea
              ●        (TOȚI dansatorii au partener!)

REGULA: Fiecare dansator are CEL PUȚIN un partener!

    Exemplu matematic: ( f: ℝ \to ℝ, f(x) = 2x + 3 ) este SURJECTIVĂ
    Dovadă: Pentru orice y ∈ ℝ, găsesc x = (y-3)/2 astfel încât ( f(x) = y )

    Contraexemplu: ( f: ℝ \to ℝ, f(x) = x^2 ) NU e surjectivă
    Pentru că y = -1 ∈ ℝ, dar NU există x ∈ ℝ cu ( x^2 = -1 )

    4. FUNCȚIE BIJECTIVĂ – “Petrecere perfectă” 💃🕺

    Definiție: ( f ) este bijectivă dacă e și injectivă, și surjectivă!

    Regula simplă: PERECHI PERFECTE 1-1!

    • Fiecare invitat are exact un dansator
    • Fiecare dansator are exact un invitat
    • NICIUN SINGUR, NICIUN PE BANCĂ!
    GRAFIC TEXT - BIJECTIVĂ:
   A                   B
    ●───────→ ●        Ana → Maria
    ●───────→ ●        Ion → Georgiana
    ●───────→ ●        Maria → Andreea

PERFECȚIUNE: 1 invitat ↔ 1 dansator
             (bijecție = corespondență biunivocă)

    Exemplu perfect: ( f: ℝ \to ℝ, f(x) = 2x + 3 ) este BIJECTIVĂ

    • E injectivă (am demonstrat)
    • E surjectivă (am demonstrat)
      ⇒ E BIJECTIVĂ!

    2. Cum Demonstrezi? Metode Practice! 🔍

    Demonstrarea INJECTIVITĂȚII:

    Metoda 1: Direct din definiție
    Presupun că ( f(a) = f(b) ) și demonstrez că ( a = b )

    Exemplu: ( f(x) = 3x – 7 )
    Presupun ( f(a) = f(b) )
    ( 3a – 7 = 3b – 7 )
    ( 3a = 3b )
    ( a = b ) ✓ INJECTIVĂ

    Metoda 2: Graficul – TESTUL LINIEI ORIZONTALE
    O funcție e injectivă dacă orice linie orizontală taie graficul în CEL MULT un punct!

    GRAFIC TEXT - TEST INJECTIVITATE:
Injectivă:       Nu injectivă:
    y               y
    │               │
    │        ●      │        ●
    │       /       │       / \
    │      /        │      /   ●
────┼────/─────  ───┼────/───────
    │   /           │   /
    │  /            │  /
    │ ●             │ ●
                    │
Linia orizontală   Linia orizontală
taie 1 punct       taie 2 puncte!

    Demonstrarea SURJECTIVITĂȚII:

    Metoda: Rezolv ecuația ( f(x) = y )
    Pentru orice y ∈ B, găsesc x ∈ A care să-l dea

    Exemplu: ( f: ℝ \to ℝ, f(x) = 5x + 2 )
    Pentru orice y ∈ ℝ, vreau ( 5x + 2 = y )
    ( 5x = y – 2 )
    ( x = \frac{y-2}{5} ) ∈ ℝ ✓
    Deci pentru ORICE y, există x ⇒ SURJECTIVĂ

    Atenție la CODOMENIU!:
    ( f: ℝ \to [0, ∞), f(x) = x^2 )

    • Pentru y = 4, există x = 2 sau x = -2
    • Pentru y = 9, există x = 3 sau x = -3
    • Pentru ORICE y ≥ 0, există x = √y
      ⇒ SURJECTIVĂ pe acest codomeniu!

    Dar ( f: ℝ \to ℝ, f(x) = x^2 ) NU e surjectivă!

    Demonstrarea BIJECTIVITĂȚII:

    Metoda 1: Demonstrezi separat injectivitate și surjectivitate

    Metoda 2: Găsești INVERSA – Dacă poți găsi o funcție ( f^{-1} ) care să anuleze efectul lui f, atunci f e bijectivă!

    3. FUNCȚIA INVERSĂ – “Petrecerea în sens invers” ↩️

    Dacă f e bijecție, putem organiza petrecerea în sens invers!

    Definiție:

    ( f^{-1}: B \to A ) este inversa lui f dacă:
    ( f^{-1}(f(x)) = x ) pentru orice x ∈ A
    și
    ( f(f^{-1}(y)) = y ) pentru orice y ∈ B

    Interpretare: f duce de la A la B, ( f^{-1} ) aduce înapoi de la B la A!

    GRAFIC TEXT - FUNCȚIA INVERSĂ:
   A                   B
    ●───────→ ●        Ana ───────────→ Maria
    │         │         │                │
    │ f       │         │ f⁻¹            │
    ↓         ↑         ↓                ↑
    ●←─────── ●        Ana ←──────────── Maria

    Exemplu perfect: ( f(x) = 2x + 3 )
    Căutăm ( f^{-1}(y) = ? ) astfel încât să anuleze pe f:
    ( f(x) = y \Rightarrow 2x + 3 = y \Rightarrow x = \frac{y-3}{2} )
    Deci ( f^{-1}(y) = \frac{y-3}{2} )

    Verific:
    ( f^{-1}(f(x)) = \frac{(2x+3)-3}{2} = \frac{2x}{2} = x ) ✓
    ( f(f^{-1}(y)) = 2\cdot\frac{y-3}{2} + 3 = y-3+3 = y ) ✓

    Proprietăți importante ale inversei:

    1. Graficul: Graficul lui ( f^{-1} ) e oglindirea graficului lui f față de dreapta ( y = x )
       GRAFIC TEXT - GRAFICE SIMETRICE:
        y
        │
        │    ● (a,b) pe f
        │     \    /
        │      \  / ● (b,a) pe f⁻¹
        │       \/
        │      /\
        │     /  \
   ─────┼────/────\──── x
        │   /      \
        │  /        \
        │ /          \
    1. Domeniu și codomeniu se inversează:
      Dacă ( f: A \to B ), atunci ( f^{-1}: B \to A )
    2. ( (f^{-1})^{-1} = f ) – Inversa inversei e funcția inițială!

    4. Cum găsești inversa unei funcții? 🧮

    Algoritmul pas cu pas:

    Pasul 1: Verifică că f este BIJECTIVĂ (altfel nu are inversă!)

    Pasul 2: Scrie ( y = f(x) )

    Pasul 3: Rezolvă această ecuație în funcție de x

    Pasul 4: Soluția e ( x = f^{-1}(y) )

    Pasul 5: Schimbă variabilele: ( f^{-1}(x) = ) expresia găsită

    Exemplu: ( f(x) = \frac{3x-2}{x+1}, x \neq -1 )

    1. Presupunem că e bijectivă pe domeniul ei
    2. ( y = \frac{3x-2}{x+1} )
    3. ( y(x+1) = 3x-2 )
      ( yx + y = 3x – 2 )
      ( yx – 3x = -2 – y )
      ( x(y-3) = -2-y )
      ( x = \frac{-2-y}{y-3} = \frac{y+2}{3-y} )
    4. ( f^{-1}(y) = \frac{y+2}{3-y} )
    5. ( f^{-1}(x) = \frac{x+2}{3-x} )

    Verificare rapidă: ( f(2) = \frac{4}{3} ), iar ( f^{-1}(\frac{4}{3}) = \frac{\frac{4}{3}+2}{3-\frac{4}{3}} = \frac{\frac{10}{3}}{\frac{5}{3}} = 2 ) ✓

    5. Exemple Complete de Demonstrație 📋

    Exemplul 1: ( f: ℝ \to ℝ, f(x) = x^3 )

    Injectivitate:
    Presupun ( f(a) = f(b) )
    ( a^3 = b^3 )
    ( a^3 – b^3 = 0 )
    ( (a-b)(a^2+ab+b^2) = 0 )
    Dar ( a^2+ab+b^2 > 0 ) pentru a,b reale (e totdeauna pozitiv)
    Deci ( a-b = 0 \Rightarrow a = b ) ✓ INJECTIVĂ

    Surjectivitate:
    Pentru orice y ∈ ℝ, căutăm x ∈ ℝ cu ( x^3 = y )
    ( x = \sqrt[3]{y} ) există pentru orice y real ✓ SURJECTIVĂ

    Concluzie: BIJECTIVĂ

    Inversa: ( y = x^3 \Rightarrow x = \sqrt[3]{y} )
    Deci ( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x} )

    Exemplul 2: ( f: (0, ∞) \to (0, ∞), f(x) = \frac{1}{x} )

    Injectivitate: Dacă ( \frac{1}{a} = \frac{1}{b} ), atunci a = b ✓

    Surjectivitate: Pentru y > 0, există x = 1/y > 0 cu ( f(x) = y ) ✓

    Concluzie: BIJECTIVĂ

    Inversa: ( y = \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{1}{y} )
    Deci ( f^{-1}(x) = \frac{1}{x} ) (e inversa ei însăși!)

    6. Cazuri Speciale și Atenții! ⚠️

    Funcțiile NU bijective care par a fi:

    1. ( f(x) = x^2 ) pe ℝ
    • Nu e injectivă: f(2)=f(-2)=4
    • Nu e surjectivă: f(x) ≥ 0, deci valori negative nu sunt atinse
    • ⇒ NU are inversă pe ℝ
    1. Dar! ( f: [0, ∞) \to [0, ∞), f(x) = x^2 ) E bijectivă!
      Inversa: ( f^{-1}(x) = \sqrt{x} )

    Compunerea cu inversa:

    Dacă f e bijectivă, atunci:
    ( f^{-1} \circ f = id_A ) (identitatea pe A)
    ( f \circ f^{-1} = id_B ) (identitatea pe B)

    Unde ( id_X(x) = x ) pentru orice x ∈ X

    7. Aplicații în Viața Reală 🌍

    1. Codificare – Decodificare 🔐

    f = funcția de codificare (bijectivă!)
    ( f^{-1} ) = funcția de decodificare
    Exemplu: Cifrul lui Cezar: f(literă) = următoarea literă
    ( f^{-1} )(literă) = litera precedentă

    2. Conversii de unități 🌡️

    f: °C → °F, ( f(C) = \frac{9}{5}C + 32 )
    ( f^{-1} ): °F → °C, ( f^{-1}(F) = \frac{5}{9}(F-32) )

    3. Criptomonede ₿

    Funcțiile hash din blockchain sunt proiectate să fie ușor de calculat (f) dar greu de inversat (găsit ( f^{-1} )) – asta le face sigure!

    CONCLUZIE FINALĂ – “ARTA RELAȚIILOR PERFECTE” 🎨

    Funcțiile bijective sunt RELȚIILE IDEALE între mulțimi! De ce?

    1. Sunt REVERSIBILE – poți merge în ambele sensuri fără pierderi
    2. Sunt COMPLETE – niciun element nu rămâne nepereche
    3. Sunt UNICE – fiecare are exact un pereche

    SFATURI PENTRU BAC 📚:

    1. Pentru injectivitate:
    • Metoda: presupui f(a)=f(b) și demonstrezi că a=b
    • Test grafic: linia orizontală taie cel mult o dată
    • Funcțiile strict monotone sunt injective!
    1. Pentru surjectivitate:
    • Găsești pentru fiecare y un x care să-l dea
    • ATENȚIE la codomeniu! Fă diferența între ℝ și [0,∞) etc.
    • Dacă poți rezolva y=f(x) în funcție de x, e surjectivă
    1. Pentru bijectivitate:
    • Demonstrezi ambele proprietăți
    • SAU găsești inversa direct
    • Dacă găsești inversa, automat e bijectivă!
    1. Pentru inversă:
    • Verifică întâi bijectivitatea
    • Rezolvă y=f(x) în funcție de x
    • Schimbă variabilele la final
    • VERIFICĂ întotdeauna: ( f^{-1}(f(x)) = x )

    REGULI DE AUR 💫:

    ✅ Doar funcțiile BIJECTIVE au inversă!
    ✅ ( f^{-1} ) există ⇔ f e bijectivă
    ✅ Graficul lui f și ( f^{-1} ) sunt simetrice față de y=x
    ✅ Dacă f e strict monotonă și surjectivă, atunci e bijectivă!

    IMAGINE FINALĂ PENTRU MEMORARE 🎭:

    Gândește-te la funcții ca la CHEI și BROASTE:

    • Injektivă = O cheie deschide cel mult o broască
    • Surjectivă = Fiecare broască e deschisă de cel puțin o cheie
    • Bijectivă = Fiecare cheie deschide exact o broască și fiecare broască e deschisă de exact o cheie
    • Inversa = Broasca care deschide cheia! (relația inversă)

    Sau mai romantic: O funcție bijectivă e ca o CĂSĂTORIE PERFECTĂ 1-la-1, unde fiecare soț are exact o soție și fiecare soție are exact un soț!

    Matematica asta nu e doar abstractă – modelează RELȚIILE IDEALE dintre lucruri. Înțelegând aceste concepte, înțelegi cum se pot potrivi perfect mulțimile între ele!

    Și amintește-ți: În viața reală, căutăm adesea relații bijective – unde dăm exact cât primim, unde comunicarea e reversibilă, unde fiecare are locul lui unic! 🌟

  • Funcții: Simetrie și Periodicitate – Ritmul și Oglinda Universului!

    Bun venit la capitolul unde funcțiile dansează și se oglindesc! Dacă până acum am vorbit despre paritate (o simetrie specială), acum extindem la toate simetriile posibile și descoperim funcțiile care se repetă ca un ritm!

    1. Simetria față de O DREAPTĂ VERTICALĂ – “Funcția narcisistă”

    Paritatea e doar un caz special: simetria față de axa Oy (x=0). Dar funcțiile pot fi simetrice față de ORICE dreaptă verticală!

    Simetrie față de x = a

    Definiție: f are simetrie față de dreapta verticală x = a dacă:
    ( f(a + h) = f(a – h) ) pentru orice h

    Traducere: Graficul e oglindit perfect față de dreapta verticală x = a!

    GRAFIC TEXT - SIMETRIE FAȚĂ DE x = a:
            y
            │
            │
            │         ● P(a+h, f(a+h))
            │        /
            │       /
            │      /
────────────┼─────/───────── x
            │    /│        ● Q(a-h, f(a-h))
            │   / │h      /
            │  /  │      /
            │ /   │     /
            │/    │    /
          a-h│    a   a+h
            │

    Exemplu dramatic: ( f(x) = (x-3)^2 ) este simetrică față de x = 3!
    Verific: ( f(3+h) = h^2 ) și ( f(3-h) = h^2 ) → EGALE!

    Exemplu din viață: Arcul triumfal din centru orașului

    • Stâlpul stâng și drept sunt simetrice față de mijloc
    • Dacă mijlocul e la coordonata x=100 metri:
    • La 90 metri (x=90): înălțimea arcului
    • La 110 metri (x=110): aceeași înălțime!

    Cum găsești axa de simetrie?

    Pentru funcțiile de gradul 2 (parabolă): ( f(x) = ax^2 + bx + c )
    Axa de simetrie: ( x = -\frac{b}{2a} )

    Exemplu: ( f(x) = 2x^2 – 8x + 5 )
    Axa de simetrie: ( x = -\frac{-8}{2\cdot2} = \frac{8}{4} = 2 )
    Verific: f(2+h) = 2(2+h)² – 8(2+h) + 5 = … = 2h² – 3
    f(2-h) = 2(2-h)² – 8(2-h) + 5 = … = 2h² – 3 ✓

    2. Simetria față de UN PUNCT – “Funcția care dansează în jurul unui punct” 💃

    Aceasta generalizează imparitatea! Imparitatea = simetrie față de origine (0,0). Dar poate fi față de ORICE punct!

    Simetrie față de punctul (a, b)

    Definiție: f are simetrie față de punctul (a, b) dacă:
    ( f(a + h) + f(a – h) = 2b ) pentru orice h

    Sau altfel: Punctul de mijloc între (a+h, f(a+h)) și (a-h, f(a-h)) este FIX (a, b)!

    GRAFIC TEXT - SIMETRIE FAȚĂ DE PUNCT:
            y
            │
            │
            │         ● P(a+h, f(a+h))
            │        /
            │       /
            │      /
            │     /
────────────┼────/────● (a, b) CENTRU
            │   /    / \
            │  /    /   \
            │ /    /     ● Q(a-h, f(a-h))
            │/    /
            │    /
            │   /

    Exemplu: ( f(x) = x^3 – 3x ) este simetrică față de origine (0,0) (e impară)
    Dar și ( f(x) = (x-2)^3 + 1 ) este simetrică față de (2, 1)!

    Verific pentru (2,1):
    ( f(2+h) + f(2-h) = [(2+h-2)³+1] + [(2-h-2)³+1] = (h³+1) + (-h³+1) = 2 ) ✓

    Semnificație geometrică:

    Dacă ai graficul pe o foaie și îl rotești cu 180° în jurul punctului (a,b), graficul rămâne același!

    3. PERIODICITATE – “Funcția care trăiește în buclă” 🔄

    Aceasta e proprietatea cea mai interesantă! O funcție periodică e ca un ceas sau un calendăr – se repetă la intervale regulate!

    Definiția periodicății:

    f este periodică dacă există un număr T > 0 (numit PERIOADĂ) astfel încât:
    ( f(x + T) = f(x) ) pentru orice x din domeniu

    Traducere: Adaugi T la x și funcția dă ACEEAȘI valoare!

    GRAFIC TEXT - FUNCȚIE PERIODICĂ:
            y
            │
            │    /\        /\        /\        /\
            │   /  \      /  \      /  \      /  \
            │  /    \    /    \    /    \    /    \
────────────┼─/──────\──/──────\──/──────\──/──────\── x
            │         \/        \/        \/
            │
            │<── T ──><── T ──><── T ──>
            │  (perioada)

    PERIOADA PRINCIPALĂ (T₀):

    Este cea mai mică perioadă pozitivă. E ca pulsul fundamental!

    Exemplu clasic: ( f(x) = \sin(x) ) are perioada principală ( T_0 = 2\pi )
    ( \sin(x + 2\pi) = \sin(x) ) pentru orice x

    Dar și ( 4\pi, 6\pi, 8\pi… ) sunt perioade, dar ( 2\pi ) e cea mai mică!

    Exemple din viața reală:

    1. CALENDARUL – Cel mai bun exemplu!

    f(zi) = activitatea zilnică (luni la serviciu, sâmbătă la cumpărături)
    Perioada: T = 7 zile (săptămâna)
    ( f(\text{“luni”}) = f(\text{“luni” + 7 zile}) = \text{“la serviciu”} )

    2. ANOTIMPURILE

    f(lună) = temperatura medie
    Perioada: T = 12 luni (1 an)
    ( f(\text{“ianuarie”}) ≈ f(\text{“ianuarie anul viitor”}) )

    3. CEASUL

    f(oră) = poziția acelor
    Perioada: T = 12 ore (pentru ora mică)
    ( f(\text{“3:00”}) = f(\text{“15:00”}) ) = acul mic la 3

    Proprietăți importante:

    1. Dacă T e perioadă, atunci k·T e perioadă (k întreg)
      Exemplu: Dacă 7 zile e perioadă, și 14, 21, 28… zile sunt perioade
    2. Suma a două funcții periodice NU e neapărat periodică!
      Doar dacă raportul perioadelor e număr rațional!
    3. Compunerea cu o funcție periodică: Dacă g e periodică, atunci f(g(x)) e periodică!

    4. Exemple Matematice de Periodicitate 📐

    1. Funcții trigonometrice – RELELE PERIODICITĂȚII

    • ( \sin(x) ): ( T_0 = 2\pi )
    • ( \cos(x) ): ( T_0 = 2\pi )
    • ( \tan(x) ): ( T_0 = \pi ) (se repetă de două ori mai repede!)
    GRAFIC TEXT - COMPARAȚIE PERIOADE:
sin(x)/cos(x):           tan(x):
     /\        /\           │      /\
    /  \      /  \          │     /  \
   /    \    /    \         │    /    \
──/──────\──/──────\──    ──/───/──────\───/──
          \/        \/        │/        \/ │
<── 2π ──><── 2π ──>        <─ π ─><─ π ─>

    2. Funcția parte întreagă ( f(x) = [x] )

    Perioadă: T = 1
    ( [x+1] = [x] + 1 )… Stai, așa e? Să verificăm:
    ( [2.3+1] = [3.3] = 3 )
    ( [2.3] + 1 = 2 + 1 = 3 ) ✓

    3. Funcția “fracția” ( f(x) = {x} = x – [x] ) (partea fracționară)

    Aceasta e PERFECT periodică cu T=1!
    ( {x+1} = {(x)+1} = {x} )

    Graficul: “Scări” care se repetă la fiecare unitate!

                y
            │
           1├─────┐       ┌─────┐       ┌─────
            │     │       │     │       │
            │     │       │     │       │
────────────┼─────┼───────┼─────┼───────┼──── x
           0│     1       2     3       4
            │
<── T=1 ──>

    5. Cum găsești perioada? 🔍

    Metoda 1: Prin definiție

    Cauți T > 0 astfel încât ( f(x+T) = f(x) ) pentru orice x

    Exemplu: ( f(x) = \sin(3x) )
    Știm că ( \sin(u) ) are perioada ( 2\pi ) în u
    Deci: ( \sin(3x + 2\pi) = \sin(3x) )
    Dar: ( \sin(3x + 2\pi) = \sin(3(x + \frac{2\pi}{3})) )
    Comparăm: ( f(x + \frac{2\pi}{3}) = f(x) )
    Deci ( T_0 = \frac{2\pi}{3} )

    REGULĂ: Dacă ( f(x) = \sin(kx) ) sau ( \cos(kx) ), atunci ( T_0 = \frac{2\pi}{|k|} )

    Metoda 2: Prin compunere

    Dacă ( f(x) = g(h(x)) ) și h e periodică cu T, atunci f e periodică cu cel mult T

    6. Aplicații Practice – “De la muzică la BAC” 🎵

    Problema 1: Undele sonore

    Presiunea sonoră în funcție de timp: ( P(t) = A\sin(2\pi ft) )

    • f = frecvența (Hz = oscilații/secundă)
    • Perioada: ( T = \frac{1}{f} ) secunde

    Pentru LA la 440 Hz: ( T = \frac{1}{440} \approx 0.00227 ) secunde
    Funcția se repetă de 440 ori pe secundă!

    Problema 2: Funcție cu două perioade

    Fie ( f(x) = \sin(x) + \cos(2x) )

    • sin(x) are ( T_1 = 2\pi )
    • cos(2x) are ( T_2 = \pi )

    Când e f periodică? Când ambele componente se repetă simultan!
    Căutăm T astfel încât T să fie multiplu comun al lui ( 2\pi ) și ( \pi )
    Cel mai mic: ( T_0 = 2\pi )

    Verific: ( f(x+2\pi) = \sin(x+2\pi) + \cos(2(x+2\pi)) = \sin(x) + \cos(2x+4\pi) = \sin(x) + \cos(2x) = f(x) )

    Problema 3: Funcție definită pe porțiuni

    ( f(x) = \begin{cases}
    x^2 & \text{dacă } 0 \leq x < 1 \
    (x-1)^2 & \text{dacă } 1 \leq x < 2
    \end{cases} )
    și se repetă cu perioada T=2

    Care e f(5.5)?
    5.5 = 2×2 + 1.5 (4 perioade complete + 1.5)
    f(5.5) = f(1.5) pentru că 5.5 – 4×1.25 = 1.5
    f(1.5) = (1.5-1)² = 0.25

    7. Simetrie + Periodicitate = SUPER PUTERE! 💥

    Când o funcție are AMBELE proprietăți, devine extrem de predictibilă!

    Exemplu: ( f(x) = \cos(x) )

    1. Pară: ( \cos(-x) = \cos(x) ) → simetrie față de Oy
    2. Periodică: ( \cos(x+2\pi) = \cos(x) )

    Consecință: Dacă știm valorile pe [0, π], le știm PESTE TOT!

    • Pe [-π, 0]: folosim paritatea (oglindim)
    • Pe restul: folosim periodicitatea (repetăm)
    GRAFIC TEXT - COMBINARE PROPRIETĂȚI:
            y
            │
           1├─────/\───────/\───────/\───────
            │    /  \     /  \     /  \     / 
            │   /    \   /    \   /    \   /  
────────────┼──/──────\─/──────\─/──────\─/─── x
            │ /        \/        \/        \/ 
          -1├───────────┼───────────┼─────────
            │          π│         2π│
            │
Simetrie:   │←── oglindit ──→│
Periodicitate:│←── 2π ──→│←── 2π ──→│

    8. Cum recunoști din grafic? 👁️

    Test simetrie verticală (x = a):

    Îndoaie harta pe dreapta x = a – părțile coincid? SIMETRIE!

    Test simetrie punctuală ((a,b)):

    Rotește graficul cu 180° în jurul punctului (a,b) – rămâne același? SIMETRIE!

    Test periodicitate:

    Decupează o bucată de lungime T și vezi dacă se potrivește peste tot!

    CONCLUZIE FINALĂ – “ARMONIA UNIVERSULUI” 🌌

    Simetria și periodicitatea sunt DOUĂ dintre cele mai profunde idei matematice pentru că:

    1. Sunt PESTE TOT în natură:
    • Simetrie: flori, fulgi de zăpadă, fața umană
    • Periodicitate: anotimpuri, fazele lunii, bătăile inimii
    1. Economisesc ENORM informația:
    • Dacă știm o funcție pe [0,T], o știm PESTE TOT dacă e periodică
    • Dacă știm o funcție pe jumătate de interval simetric, o șsim pe tot
    1. Sunt esențiale în știință:
    • Mecanică cuantică: funcții de undă periodice
    • Procesarea semnalelor: analiza Fourier (totul e sumă de funcții periodice!)
    • Cristalografie: structuri periodice în spațiu

    SFATURI PENTRU BAC 🎓:

    1. Pentru simetrie:
    • Test: înlocuiește x cu (2a – x) pentru simetrie față de x=a
    • Test: verifică dacă (a+h, f(a+h)) și (a-h, f(a-h)) sunt simetrice
    1. Pentru periodicitate:
    • Funcțiile trigonometrice: sin, cos, tan, cot
    • Funcțiile “parte întreagă” și “parte fracționară”
    • Dacă f(x+T) = f(x) pentru UN x, nu înseamnă că e periodică! Trebuie pentru ORICE x!
    1. Combinarea lor:
    • O funcție pară și periodică e complet determinată pe [0, T/2]
    • O funcție impară și periodică are f(0)=0 și f(T/2)=0

    REGULI DE AUR ✨:

    ✅ Orice funcție periodică are INFINITE perioade (toți multiplii lui T₀)
    ✅ Perioada principală T₀ e UNICA cea mai mică perioadă pozitivă
    ✅ Simetria față de x=0 = paritate
    ✅ Simetria față de (0,0) = imparitate
    ✅ Majoritatea funcțiilor NU sunt nici simetrice, nici periodice

    IMAGINE FINALĂ PENTRU MEMORARE 🎭:

    Gândește-te la:

    • Simetrie = OGLINDA care reflectă lumea
    • Periodicitate = CEASUL care măsoară timpul

    Sau mai bine: funcția periodică e ca MELODIA care se repetă, iar simetria e ca ARMONIA dintre note!

    Matematica nu e doar calcul, e RECUNOAȘTEREA STRUCTURILOR ASCUNSE. Când vezi simetria și periodicitatea, vezi ordinea în haos, ritmul în aleatoriu, frumusețea în complexitate!

    Și amintește-ți: Viața ta are și ea simetrii (echilibru) și periodic

  • Funcții: Mărginire, Monotonie, Paritate – Caracterul Funcțiilor!

    Salutare! Dacă până acum am învățat ce sunt funcțiile, azi le vom studia PERSONALITATEA! O funcție poate fi timidă (mărginită), ambițioasă (crescătoare), extravagantă (descrescătoare) sau chiar rebelă (impară)! Hai să le cunoaștem mai bine!

    1. Funcții Mărginite – “Funcțiile cu Garduri”

    O funcție mărginită e ca un copil cu părinți stricti: are limite clare și nu poate ieși din ele!

    Definiție:

    f este mărginită pe A dacă există două numere reale m și M astfel încât:
    ( m \leq f(x) \leq M ) pentru orice x ∈ A

    Traducere: Toate valorile funcției stau într-un interval închis, nu fug la infinit!

    GRAFIC TEXT - FUNCȚIE MĂRGINITĂ:
            y
            │
           M├─────────────────  "Tavanul"
            │    ┌──────┐
            │    │      │
            │    │      │
────────────┼────│──────│──── x
            │    │      │
            │    │      │
           m├────┴──────┘     "Pardoseala"
            │
            │

    Tipuri de mărginire:

    1. Mărginită SUPERIOR (are tavan)

    Există M astfel încât ( f(x) \leq M ) pentru orice x

    Exemplu real: Nota maximă la BAC = 10
    f(elev) = nota la BAC
    Toți elevii au ( f(x) \leq 10 ) (nimeni nu ia peste 10)

    Exemplu matematic: ( f(x) = -x^2 )
    Valorile sunt ≤ 0 (mereu negative sau zero)
    M = 0 este o margine superioară

    2. Mărginită INFERIOR (are pardoseală)

    Există m astfel încât ( f(x) \geq m ) pentru orice x

    Exemplu real: Temperatura în grade Celsius la Polul Nord
    f(zi) = temperatura
    Toate temperaturile ≥ -50°C (nu scade la infinit)

    Exemplu matematic: ( f(x) = x^2 )
    Valorile sunt ≥ 0 (mereu pozitive sau zero)
    m = 0 este o margine inferioară

    3. MărginitĂ (atât sus cât și jos)

    Are AMBELE limite! E ca un elevator într-o clădire.

    Exemplu perfect: ( f(x) = \sin(x) )

                y
            │
           1├───────────────  Maxim
            │  /\      /\
            │ /  \    /  \
────────────┼/────\──/────\── x
            │      \/      \
          -1├───────────────  Minim
            │

    Pentru orice x: ( -1 \leq \sin(x) \leq 1 )
    m = -1 (marginea inferioară)
    M = 1 (marginea superioară)

    Exemplu din viață: Viteza mașinii în oraș
    f(timp) = viteza
    40 km/h ≥ f(timp) ≥ 0 km/h
    (mărginită inferior de 0, superior de 40)

    Funcții NEMĂRGINITE – “Rebelii fără limite” 🚀

    Spre deosebire, funcțiile nemărginite FUG LA INFINIT!

    Exemplu: ( f(x) = x^3 )
    Când x → ∞, f(x) → ∞ (fuge sus)
    Când x → -∞, f(x) → -∞ (fuge jos)
    NU are nici tavan, nici pardoseală!

    2. Monotonie – “Funcțiile cu Ambiiție (sau depresie)” 📈📉

    Monotonia = direcția în care merge funcția. Crește? Scade? Stă pe loc?

    1. Funcție CRESCĂTOARE – “Ambițioasa care urcă mereu” 🧗‍♀️

    Definiție: f este crescătoare pe A dacă pentru orice x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)

    Regula simplă: Mai mare x ⇒ mai mare sau egal f(x)

    Exemplu real: Vechimea vs Salariul (în firme cu senioritate)

    • x₁ = 1 an vechime → f(x₁) = 3000 lei
    • x₂ = 5 ani vechime → f(x₂) = 5000 lei
    • x₃ = 10 ani vechime → f(x₃) = 8000 lei

    x crește ⇒ f(x) crește

    Exemplu matematic: ( f(x) = 2x + 1 )
    Dacă x₁ = 1 → f(1) = 3
    Dacă x₂ = 3 → f(3) = 7
    3 < 7 ✓

    2. Funcție STRICT CRESCĂTOARE – “Ambțioasa care nu stă locului”

    Adaugă STRICT: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

    Diferența: strict = doar <, nu ≤ (nu sunt egale valori!)

    Exemplu: ( f(x) = x^3 ) e strict crescătoare pe ℝ

    3. Funcție DESCRESCĂTOARE – “Funcția în regres” 📉

    Definiție: f este descrescătoare pe A dacă pentru orice x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)

    Regula simplă: Mai mare x ⇒ mai mic sau egal f(x)

    Exemplu dramatic: Valoarea mașinii second-hand

    • Anul 1 (x₁): valoare 20.000€
    • Anul 3 (x₂): valoare 15.000€
    • Anul 5 (x₃): valoare 10.000€

    x crește ⇒ f(x) scade

    Exemplu matematic: ( f(x) = -3x + 4 )
    Dacă x₁ = 0 → f(0) = 4
    Dacă x₂ = 2 → f(2) = -2
    4 > -2 ✓

    4. Funcție STRICT DESCRESCĂTOARE

    Adaugă STRICT: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

    5. Funcție CONSTANTĂ – “Funcția care se relaxează” 😴

    Pentru orice x₁, x₂: f(x₁) = f(x₂)

    Exemplu: ( f(x) = 5 ) (orice x bagi, iese 5)

                y
            │
           5├───────────────●────────●────────●
            │
            │
────────────┼─────────────────────────────── x
            │
            │

    6. Funcție NEMONOTONĂ – “Funcția bipolară” 🌗

    Se comportă diferit pe diferite intervale!

    Exemplu clasic: ( f(x) = x^2 )
    Pe (-∞, 0]: descrescătoare
    Pe [0, ∞): crescătoare
    Pe tot ℝ: NEMONOTONĂ!

    GRAFIC TEXT - MONOTONIE PE INTERVALE:
            y
            │
            │       ↗ (crescătoare)
            │      /
            │     /
            │    /
────────────┼───/──────────── x
            │  /
            │ /
            │↘ (descrescătoare)
            │

    3. Paritate/Imparitate – “Funcțiile simetrice” 🎭

    Aceste proprietati studiază SIMETRIA față de axa Oy sau originea O.

    TESTUL SIMPLU: Înlocuiești x cu -x și vezi ce se întâmplă!

    1. Funcție PARĂ – “Simetrică ca o fluture”

    Definiție: f este pară dacă ( f(-x) = f(x) ) pentru orice x

    Grafic: SIMETRIC față de axa Oy (oglindit vertical)

    Exemplu real: Fața umană (aproximativ pară)
    Ochiul stâng ≈ ochiul drept (simetrie față de nas)

    Exemplu matematic: ( f(x) = x^2 )
    Verific: ( f(-3) = 9 ) și ( f(3) = 9 )
    Graficul:

                y
            │
           9├─────●───────●
            │   -3│       3
            │     │       │
────────────┼─────┼───────┼──── x
            │     │       │
            │     │       │

    Punctele (-3,9) și (3,9) sunt simetrice față de Oy!

    2. Funcție IMPARĂ – “Rebelul antisimetric”

    Definiție: f este impară dacă ( f(-x) = -f(x) ) pentru orice x

    Grafic: SIMETRIC față de ORIGINE (oglindit și pe Ox și pe Oy)

    Exemplu real: Funcția “opusa”: f(prieten) = dușman
    Dacă x e prieten, f(x) e dușman
    Dacă -x e dușman, f(-x) e prieten (opus!)

    Exemplu matematic: ( f(x) = x^3 )
    Verific: ( f(-2) = -8 ) și ( -f(2) = -8 )
    Graficul:

                y
            │
           8├           ● (2,8)
            │         /
            │       /
────────────┼─────/──── x
            │   /
            │ /
-8├● (-2,-8)
            │

    Punctele (-2,-8) și (2,8) sunt simetrice față de origine!

    3. Funcție NICI PARĂ, NICI IMPARĂ – “Individualista”

    Majoritatea funcțiilor sunt așa!

    Exemplu: ( f(x) = x^2 + x )
    Verific: ( f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 – x )
    Aceasta NU e egală nici cu f(x), nici cu -f(x)!

    TRUCURI UTILE:

    1. Suma funcțiilor pare = PARĂ
    2. Suma funcțiilor impare = IMPARĂ
    3. Produsul a două pare = PAR
    4. Produsul a două impare = PAR (!!)
    5. Produsul par × impar = IMPAR

    4. Aplicații Practice – “De la teorie la BAC” 📚

    Problema 1: Analiza unei funcții

    Fie ( f(x) = x^3 – 3x )

    1. Mărginire: E mărginită? NU! Când x→∞, f(x)→∞
    2. Monotonie: Derivata f'(x) = 3x² – 3
    • f'(x) > 0 pentru |x| > 1 ⇒ crescătoare pe (-∞,-1] și [1,∞)
    • f'(x) < 0 pentru |x| < 1 ⇒ descrescătoare pe [-1,1]
    1. Paritate: f(-x) = (-x)³ – 3(-x) = -x³ + 3x = -(x³ – 3x) = -f(x) ⇒ IMPARĂ!

    Problema 2: Funcția de profit a unei firme

    f(nr_angajați) = profit

    • Pentru 0-50 angajați: f CRESCĂTOARE (mai mulți oameni = mai mult profit)
    • Pentru 50-100 angajați: f CONSTANTĂ (limite de management)
    • Peste 100 angajați: f DESCRESCĂTOARE (prea multă birocrație)

    Aceasta e funcție: NEMONOTONĂ pe întreg domeniul!

    Problema 3: Testarea parității rapid

    Este ( f(x) = \frac{x^3 + x}{x^4 + 1} ) pară sau impară?
    Test: ( f(-x) = \frac{(-x)^3 + (-x)}{(-x)^4 + 1} = \frac{-x^3 – x}{x^4 + 1} = -\frac{x^3 + x}{x^4 + 1} = -f(x) )
    ⇒ IMPARĂ!

    5. Cum recunoști proprietățile din grafic? 👀

    GRAFIC TEXT - RECUNOAȘTERE VIZUALĂ:
1. MĂRGINITĂ:          2. NEMĂRGINITĂ:
   y                      y
   │                      │
 M ├──────┐              │        ↗
   │      │              │      /
   │      │              │    /
───┼──────┼── x        ──┼──/──── x
   │      │              │
 m ├──────┘              │↘
   │

3. PARĂ (simetrie Oy):   4. IMPARĂ (simetrie origine):
   y                      y
   │                      │
   │    ●     ●           │         ●
   │ -a │     │ a         │        /
   │    │     │           │      /
───┼────┼─────┼── x     ──┼────/──── x
   │    │     │           │  /
   │    │     │           │/ 
   │                      ●

    CONCLUZIE FINALĂ – “DE CE ACESTE PROPRITĂȚI SUNT CHEILE” 🔑

    Aceste proprietăți sunt CARTEA DE IDENTITATE a unei funcții! De ce?

    1. MĂRGINIREA te spune dacă funcția e “controlabilă” sau “selbatică”
    2. MONOTONIA îți arată tendința: merge în sus, în jos, sau se învârte?
    3. PARITATEA dezvăluie simetriile ascunse ale funcției

    SFATURI PENTRU BAC 🎯:

    1. Pentru mărginire:
    • Caută limite superioare/inferioare
    • Funcțiile polinomiale de grad impar sunt NEMĂRGINITE
    • sin(x), cos(x) sunt MĂRGINITE între -1 și 1
    1. Pentru monotonie:
    • Folosește DERIVATA: f'(x) ≥ 0 ⇒ crescătoare, f'(x) ≤ 0 ⇒ descrescătoare
    • Funcțiile liniare (ax+b) sunt monotone pe tot ℝ
    • Funcțiile de grad 2 (parabolă) sunt NEMONOTONE pe ℝ
    1. Pentru paritate:
    • TESTUL: calculează f(-x) și compară cu f(x) și -f(x)
    • Toate puterile pare (x², x⁴…) dau funcții PARE
    • Toate puterile impare (x, x³…) dau funcții IMPARE
    • Atenție la DOMENIU: trebuie simetric față de 0!

    REGULI DE AUR ✨:

    ✅ O funcție poate fi și pară, și impară? DA! Doar funcția f(x)=0!
    ✅ O funcție poate fi și crescătoare, și descrescătoare? DA! Funcțiile constante!
    ✅ Majoritatea funcțiilor sunt NICI PARE, NICI IMPARE
    ✅ “Strict” înseamnă fără egalități!

    IMAGINE FINALĂ PENTRU MEMORARE 🎨:

    Gândește-te la funcții ca la ALPINIȘTI:

    • Mărginit = alpiniștii cu frânghie (nu cad în abis)
    • Nemărginit = alpiniștii fără frânghie (riscă să cadă la infinit)
    • Crescător = urcă muntele
    • Descrescător = coboară muntele
    • Constant = stă pe platou
    • Par = doi alpiniști la aceeași înălțime pe pante opuse
    • Impar = un alpiniște sus, celălalt jos, pe pante opuse

    Matematica nu e doar calcul, e INTUIȚIE VIZUALĂ. Când înțelegi cum “se comportă” o funcție, poți prevedea unde merge fără să calculezi fiecare punct!

    Și amintește-ți: În viață, fiecare dintre noi are propriile “mărginiri”, “monotonii” și “simetrii”. Cunoașterea lor ne ajută să ne înțelegem mai bine comportamentul! 🌟

  • Funcții: Magia Transformărilor din Lumea Reală!

    Bun venit la capitolul unde matematică devine magie aplicată! Dacă șirurile erau cozi ordonate, funcțiile sunt mașinării de transformat care iau ceva la intrare și dau altceva la ieșire. E ca un filtru Instagram pentru numere! 📸

    1. Ce e o Funcție? “Mașina cu intrare și ieșire”

    Definiție oficială: O funcție e o relație între două mulțimi A și B care asociază fiecărui element din A exact un element din B.

    Definiție pe TikTok: Funcția = VENDING MACHINE cu reguli fixe!

    • Intrare: bagi o monedă (element din A)
    • Ieșire: primești exact un produs (element din B)
    • Regulă: Aceeași monedă = același produs mereu!
    GRAFIC TEXT - MAȘINA FUNCȚIE:
┌─────────────────────────────────────┐
│          F U N C Ț I A              │
│                                     │
│ INTRARE:                           │
│ ● Monedă de 1 leu   ────────→      │
│ ● Monedă de 5 lei   ────────→      │  ┌─────┐
│ ● Monedă de 10 lei  ────────→      │  │??? │  → Ieșire unică
│                                     │  └─────┘
│   (Mulțimea A)     │││││││││││││   │   (Mulțimea B)
└─────────────────────────────────────┘

REGLĂ: Fiecare intrare → exact o ieșire!

    Exemple din viața reală:

    1. Mașina de cafea: Bagi 5 lei → 1 espresso (nu poți primi espresso și capuccino!)
    2. Nota la BAC: Media ta (intrare) → Nota finală (ieșire)
    3. Vârsta în om-ani: Vârsta ta în ani (intrare) → Echiivalentul în câini (ieșire) 🐕

    NOTAȚIE:

    ( f: A → B ) se citește “f definită de la A la B”
    ( f(x) = y ) se citește “f de x este egal cu y”

    • x = element din A = variabilă independentă = INTRARE
    • y = element din B = variabilă dependentă = IEȘIRE
    • A = domeniul de definiție = mulțimea intrărilor permise
    • B = codomeniul = mulțimea posibilelor ieșiri

    2. Modalități de Descriere a Funcțiilor – “4 moduri de a spune același lucru”

    1. Prin diagrame cu săgeți – “Cine merge cu cine”

        A              B
    ●───────→ ●    Ana → Pizza
    ●───────→ ●    Ion → Burger
    ●───────→ ●    Maria → Pizza

    Observație: Mai mulți pot merge la același (Pizza), dar nimeni nu merge la două!

    2. Prin tabel – “Meniu cu preț fix”

    x (Intrare) │ f(x) (Ieșire)
────────────┼──────────────
    -2      │     4
     0      │     0
     3      │     9

    Asta e funcția ( f(x) = x^2 ) pentru aceste valori!

    3. Prin formulă – “Rețeta matematică”

    ( f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3 )
    Interpretare: Oricare ar fi x-ul, îl înmulțești cu 2 și adaugi 3.

    4. Prin descriere verbală – “Povestea funcției”

    “Funcția care asociază fiecărui număr real dublul său mărit cu 3.”

    3. Produsul Cartesian – “Toate cuplurile posibile”

    Definiție: Produsul cartezian A × B = mulțimea tuturor perechilor ordonate (a, b) cu a∈A și b∈B.

    Analogia perfectă: Meniu restaurant × Băuturi

    • A = {Pizza, Paste, Salată}
    • B = {Cola, Apă, Suc}
    • A × B = toate combinațiile posibile!
    A × B = {
 (Pizza, Cola), (Pizza, Apă), (Pizza, Suc),
 (Paste, Cola), (Paste, Apă), (Paste, Suc),
 (Salată, Cola), (Salată, Apă), (Salată, Suc)
}

    Total: 3×3 = 9 combinații posibile!

    Regula de numărare: Dacă A are m elemente și B are n elemente, atunci A×B are m×n elemente.

    4. Reper Cartezian & Reprezentare prin Puncte – “Google Maps al matematicii”

    Sistemul de coordonate = cel mai tare instrument din matematică! E ca o hărțuire a planului.

    Cum funcționează:

    1. Desenezi două drepte perpendiculare care se intersectează în O(0,0)
    2. Orizontală = axa Ox (abscise)
    3. Verticală = axa Oy (ordonate)
    4. Orice punct P are coordonate (x, y)
    GRAFIC TEXT - REPER CARTEZIAN:
        y
        │
        │    ● P(3,4)
        │     \
        │      \
        │       \
────────┼────────┼─────── x
        │O(0,0) 3
        │
        │

    Punctul P: x=3 (mergi 3 la dreapta), y=4 (mergi 4 în sus)

    Importanță: Această reprezentare transformă funcțiile abstracte în forme vizibile!

    5. Graficul unei Funcții – “Fotografia funcției”

    Definiție: Graficul lui f = mulțimea tuturor punctelor (x, f(x)) cu x∈A.

    Traducere: Faci poze la toate intrările cu ieșirile lor și pui pozele pe o hartă!

    Exemplu: ( f(x) = x^2 )

    • Pentru x = -2 → f(-2) = 4 → punctul (-2, 4)
    • Pentru x = 0 → f(0) = 0 → punctul (0, 0)
    • Pentru x = 3 → f(3) = 9 → punctul (3, 9)

    TESTUL LINIEI VERTICALE (super important!):

    O curbă din plan este graficul unei funcții dacă și numai dacă orice linie verticală o intersectează în cel mult un punct.

    GRAFIC TEXT - TEST LINIE VERTICALĂ:
Este funcție:      Nu este funcție:
    │                 │
    │   ●             │       ●
    │   │             │      ╱│╲
────┼───●─────    ────┼─────●─┼─●────
    │                 │      ╲│╱
    │                 │       ●
    │                 │
Linia verticală      Linia verticală
taie DOAR un punct  taie DOUĂ puncte!

    6. Egalitatea Funcțiilor – “Când două funcții sunt gemene identice”

    Două funcții f și g sunt EGALE dacă:

    1. Au același domeniu de definiție (aceeași mulțime A)
    2. ( f(x) = g(x) ) pentru orice x din A

    Exemplu 1: ( f(x) = x^2 ) și ( g(x) = x·x ) sunt egale pe ℝ

    Exemplu 2: ( f(x) = \frac{x^2 – 1}{x – 1} ) și ( g(x) = x + 1 ) NU sunt egale!

    • De ce? Pentru că f nu e definită în x=1 (împărțire la 0)
    • Dar g e definită peste tot
    • Ele sunt egale doar pe ℝ{1}

    Important: Nu contează cum arată formula, contează ce iese pentru fiecare intrare!

    7. Compunerea Funcțiilor – “Lanțul de transformări”

    Compunerea = aplici două funcții una după alta, ca într-o fabrică cu două mașinii!

    Notație: ( (g \circ f)(x) = g(f(x)) )

    Citesc: “g compus cu f de x” = aplici mai întâi f pe x, apoi g pe rezultat!

    Analogia perfectă: Fabricarea unui hamburger

    1. f = prăjește carnea: Carne crudă → Carne prăjită
    2. g = asamblează hamburgerul: Carne prăjită → Hamburger complet

    ( (g \circ f) )(“carne crudă”) = g(f(“carne crudă”)) = g(“carne prăjită”) = “hamburger complet”

    Exemplu matematic:
    Fie ( f(x) = 2x ) și ( g(x) = x + 3 )
    ( (g \circ f)(5) = g(f(5)) = g(2×5) = g(10) = 10 + 3 = 13 )

    Ordinea contează CRUCIAL!

    ( (g \circ f)(x) ) ≠ ( (f \circ g)(x) ) în general!

    Verificăm:
    ( (f \circ g)(5) = f(g(5)) = f(5+3) = f(8) = 2×8 = 16 )
    13 ≠ 16 deci compunerea nu e comutativă!

    Exemplu real: Convertor valutar + cumpărături

    1. f = convertește EUR în RON: f(EUR) = EUR × 5
    2. g = calculează TVA: g(lei) = lei × 1.19 (adaugă 19% TVA)

    Ai 100 EUR:
    ( (g \circ f)(100) = g(f(100)) = g(100×5) = g(500) = 500×1.19 = 595 ) RON cu TVA

    Diagramă de compunere:

            f          g
x ───────→ f(x) ───────→ g(f(x))
       (prima      (a doua
       mașină)     mașină)

    8. Aplicații Practice – “De la viața reală la BAC”

    Problema 1: Sistemul de notare

    Profesorul are două funcții:

    • f(mediă) = rotunjește la cel mai apropiat întreg
    • g(notă) = adaugă 1 punct pentru participare

    Ce notă primește un elev cu media 8.7?
    ( (g \circ f)(8.7) = g(f(8.7)) = g(9) = 9+1 = 10 )

    Problema 2: Rabat + TVA la mall

    1. f(preț) = aplică 20% reducere: f(x) = 0.8x
    2. g(preț) = adaugă TVA 19%: g(x) = 1.19x

    Un produs costă 500 lei:
    Cu reducere și apoi TVA: ( g(f(500)) = g(400) = 476 ) lei
    Cu TVA și apoi reducere: ( f(g(500)) = f(595) = 476 ) lei? Să calculăm:
    ( f(g(500)) = f(1.19×500) = f(595) = 0.8×595 = 476 ) lei

    Surpriză! În acest caz a ieșit la fel pentru că operațiile sunt una inversa alteia!

    CONCLUZIE FINALĂ – “DE CE FUNCȚIILE SUNT SUPER-PUTERILE MATEMATICII”

    Funcțiile sunt limbajul schimbării și transformării în univers! De ce să le înveți?

    1. Modelează lumea reală: Orice proces (creștere economică, răcirea cafelei, difuzia unei epidemii) poate fi descris cu funcții
    2. Sunt predictibile: Știi exact ce ieșire primești pentru fiecare intrare
    3. Sunt vizuale: Graficul îți arată “fața” funcției

    Cheie pentru BAC:

    1. Verifică mereu domeniul de definiție (unde funcția are sens)
    2. Pentru egalitate: aceeași formulă ≠ aceeași funcție! Trebuie același domeniu
    3. La compunere: aplică de la dreapta la stânga: ( g(f(x)) ) = f mai întâi, apoi g
    4. Graficul = cel mai bun prieten – arată tot!

    Reguli de aur:
    ✅ O funcție = o mașinie care dă o singură ieșire pentru fiecare intrare
    ✅ Graficul funcției trece testul liniei verticale
    ✅ Compunerea = aplici funcții în lanț, ca o fabrică
    ✅ Două funcții sunt egale dacă fac același lucru peste tot pe același domeniu

    Imagine finală pentru memorare:
    Gândește-te la funcții ca la filtre Instagram succesive:

    • Poza originală = x
    • f = aplică filtru “Sepia”
    • g = aplică filtru “Brighness +”
    • ( g \circ f ) = sepia și apoi luminozitate
    • ( f \circ g ) = luminozitate și apoi sepia → REZULTAT DIFERIT!

    Matematica nu e doar numere, e gândire structurală. Funcțiile te învață să vezi relații, transformări și dependențe. Și când înțelegi cum se transformă lucrurile, înțelegi esența schimbării în univers!

    Și amintește-ți: În viața reală, ești rezultatul compunerii a mii de “funcții” – educație, experiență, mediu. Alege-ți cu înțelepciune funcțiile pe care le compui în viața ta! 🚀

  • Progresii Geometrice: Matematică pe modul “VIRAL”!

    Bun venit la cel mai interesant capitol din lumea șirurilor! Dacă Progresiile Aritmetice erau ca urcatul treptat pe o scară, Progresiile Geometrice (PG) sunt ca o reacție în lanț sau un video viral! Aici nu aduni aceeași valoare mereu, ci înmuțești sau împarți cu același număr. E diferența dintre a primi 10 lei în plus pe zi (PA) și a-ți dubla banii în fiecare zi (PG)!

    1. Esența PG: “De la răspândirea zvonurilor la explozia nucleară”

    Definiție oficială: Un șir în care raportul dintre oricare doi termeni consecutivi este CONSTANT.

    Definiție pe înțelesul tuturor: Fiecare termen se obține din precedentul înmulțind cu același număr!

    Exemplu viral: Răspândirea unei știri false pe WhatsApp

    • Ora 0: 1 persoană o trimite (tu)
    • Ora 1: O trimite la 3 prieteni → 3 persoane nou informate
    • Ora 2: Fiecare din cei 3 o trimite la încă 3 prieteni → 9 persoane
    • Ora 3: Cei 9 o trimit la câte 3 → 27 de persoane

    Șirul: 1, 3, 9, 27, 81, …
    RAȚIA (notată cu q) = raportul constant = 3
    Fiecare termen = precedentul × 3!

    GRAFIC TEXT - EXPLOZIA GEOMETRICĂ:
Nivel 0: ● (tu) 
         │
         │ ×3 (trimiti la 3 prieteni)
         ↓
Nivel 1: ●  ●  ●  (3 persoane)
         │  │  │
         │×3│×3│×3 (fiecare trimite la 3)
         ↓  ↓  ↓
Nivel 2: ●●● ●●● ●●● (9 persoane)
         (și tot așa...)

RAȚIA q = 3 <- FACTORUL DE MULTIPLICARE!

    2. Formula Termenului General – “Formula puterii”

    Formula: ( a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} )

    Traducere: Pentru a ajunge la termenul n, pornești de la primul termen și înmulțești de (n-1) ori cu q!

    Exemplu dramatic: Dublarea banilor în fiecare zi (visul tuturor!)

    • Ziua 1: ai 1 leu (a₁ = 1)
    • q = 2 (se dublează zilnic)
    • Vrem să știm cât avem în ziua 10

    ( a_{10} = 1 \cdot 2^{(10-1)} )
    ( a_{10} = 1 \cdot 2^9 )
    ( a_{10} = 1 \cdot 512 = 512 ) lei

    Dar să vedem explozia:
    Ziua 1: 1 leu
    Ziua 2: 2 lei
    Ziua 3: 4 lei
    Ziua 4: 8 lei
    Ziua 5: 16 lei
    …
    Ziua 10: 512 lei
    Ziua 20: 524.288 lei!
    Ziua 30: peste 500 de milioane lei! 🚀

    Cum găsești rația q?

    Formula: ( q = \frac{a_n}{a_{n-1}} ) (pentru n ≥ 2)

    Adică: împarți termenul curent la precedentul!

    Exemplu: Ști că a₃ = 20 și a₄ = 60
    ( q = \frac{a₄}{a₃} = \frac{60}{20} = 3 )

    3. Tipuri de PG – “De la boom la colaps”

    1. PG crescătoare (q > 1)

    Se înmulțește cu ceva mai mare decât 1 → explodează!
    Exemplu: 2, 6, 18, 54, … (q = 3)

    2. PG descrescătoare (0 < q < 1)

    Se înmulțește cu o fracție subunitară → se micșorează!
    Exemplu: 100, 50, 25, 12.5, … (q = 0.5 = ½)

    3. PG constantă (q = 1)

    Se înmulțește cu 1 → rămâne la fel!
    Exemplu: 7, 7, 7, 7, … (q = 1)

    4. PG alternantă (q < 0)

    Se înmulțește cu negativ → sare de la pozitiv la negativ!
    Exemplu: 3, -6, 12, -24, … (q = -2)

    5. PG staționară (a₁ ≠ 0 și q = 0)

    După primul termen, totul devine zero!
    Exemplu: 5, 0, 0, 0, … (q = 0)

    GRAFIC TEXT - COMPARAȚIE TIPURI PG:
Crescătoare (q=2):   ●-------●-----------●----------------●---> 
                    2       4           8              16

Descrescătoare (q=0.5): 
                    ●------------------------
                    100
                         ●------------------
                         50
                              ●------------
                              25
                                   ●-------
                                   12.5

Alternantă (q=-1.5): 
                    ●           ●           ●
                    4          -6           9
                         ●           ●
                        -6           9      (sare!)

    4. Suma primilor n termeni – “Totalul boom-ului”

    Atenție la formulă! Depinde de rația q!

    Cazul 1: q ≠ 1

    ( S_n = a_1 \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1} )

    Sau: ( S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} ) (la fel, doar ordonat altfel)

    Cazul 2: q = 1

    ( S_n = n \cdot a_1 ) (logic, toți termenii sunt egali)

    Exemplu exploziv: Viralizarea unui TikTok

    • Clipul tău e vizualizat de 10 persoane în prima oră (a₁ = 10)
    • Fiecare persoană îl trimite la 2 prieteni (q = 2)
    • Câte vizualizări totale după 6 ore? (n = 6)

    Folosim q ≠ 1 (căci q=2):
    ( S_6 = 10 \cdot \frac{2^6 – 1}{2 – 1} )
    ( S_6 = 10 \cdot \frac{64 – 1}{1} )
    ( S_6 = 10 \cdot 63 = 630 ) vizualizări totale!

    Verificare rapidă:
    Ora 1: 10 vizualizări
    Ora 2: 20 (10×2)
    Ora 3: 40 (20×2)
    Ora 4: 80 (40×2)
    Ora 5: 160 (80×2)
    Ora 6: 320 (160×2)
    Total: 10+20+40+80+160+320 = 630 ✓

    5. Probleme practice cu explozii geometrice

    Problema 1: Investiția miraculosă

    Investești 1000 lei cu dobândă compusă de 10% pe an.

    • Anul 1: 1000 lei
    • Anul 2: 1100 lei (1000 + 10%)
    • Anul 3: 1210 lei (1100 + 10%)

    a₁ = 1000 lei
    q = 1.10 (crește cu 10%, adică ×1.10)
    n = ? când depășește 2000 lei?

    ( a_n = 1000 \cdot 1.10^{(n-1)} > 2000 )
    ( 1.10^{(n-1)} > 2 )

    Testăm:
    Pentru n=8: ( 1.10^7 = 1.9487 ) (aproape!)
    Pentru n=9: ( 1.10^8 = 2.1436 ) (>2000)

    Răspuns: În anul 9 (după 8 ani) depășește 2000 lei.

    Problema 2: Bila care nu se oprește să sară

    O bilă este lăsată să cadă de la 128 metri. După fiecare cădere, sărea înapoi la jumătate din înălțime.

    • Cădere 1: 128m
    • Săritură 1: 64m în sus (jumătate)
    • Cădere 2: 64m
    • Săritură 2: 32m în sus
    • Și tot așa…

    Ce distanță totală parcurge bila în primele 6 căderi+sărituri?

    Să gândim geometric:
    Distanțele parcurse: 128, 64, 64, 32, 32, 16, 16, 8, 8, …

    Putem grupa: 128 + 2×64 + 2×32 + 2×16 + …
    Sau mai simplu: Prima cădere: 128
    Apoi perechi: (salt + cădere) = de două ori înălțimea

    După prima cădere, înălțimile formează PG:
    64, 32, 16, 8, … cu q = 0.5

    Suma pentru salturi+căderi (fără prima cădere):
    ( S_{perechi} = 2 \times 64 \times \frac{1 – 0.5^5}{1 – 0.5} )
    (Pentru 5 perechi? Nu, pentru 5 termeni ai PG: 64,32,16,8,4)

    Mai bine calculăm direct:
    Total = 128 + 2×64 + 2×32 + 2×16 + 2×8 + 2×4
    = 128 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8
    = 376 metri

    6. Proprietăți magice ale PG

    1. Proprietatea termenilor egal depărtați:
      ( a_k \cdot a_m = a_p \cdot a_q ) dacă ( k + m = p + q ) Exemplu: În PG: 2, 6, 18, 54, 162…
      a₂ × a₄ = 6 × 54 = 324
      a₃ × a₃ = 18 × 18 = 324
      Indicele 2+4 = 3+3 = 6 ✓
    2. Trei termeni consecutivi:
      Dacă x, y, z sunt în PG, atunci: ( y^2 = x \cdot z ) Adică: termenul din mijloc la pătrat = produsul vecinilor! Exemplu: 4, ?, 16 sunt în PG
      Termenul mijlociu² = 4 × 16 = 64
      Deci termenul mijlociu = √64 = 8
      Verificare: 4, 8, 16 cu q=2 ✓
    3. Recunoașterea unei PG:
      Un șir e PG dacă ( \frac{a_{n+1}}{a_n} = constant ) pentru orice n.

    7. Suma infinită a unei PG descrescătoare – “Aproape, dar niciodată până la capăt”

    Aici e SUPER INTERESANT! Dacă PG e descrescătoare (0 < q < 1), putem calcula suma TUTUROR termenilor la infinit!

    Formula: ( S = \frac{a_1}{1 – q} ) (doar pentru |q| < 1)

    Exemplu filosofic: Zeno și broasca țestoasă

    • Broasca parcurge jumătate din distanță rămasă în fiecare minut
    • Distanța inițială: 1 km
    • Minutul 1: 0.5 km (jumătate)
    • Minutul 2: 0.75 km (0.5 + jumătate din rămas)
    • Minutul 3: 0.875 km …

    Șirul distanțelor parcurse: 0.5, 0.25, 0.125, … (q = 0.5)

    Suma la infinit: ( S = \frac{0.5}{1 – 0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 ) km exact!

    Broasca ajunge în cele din urmă, chiar dacă mereu mai are doar jumătate din ce a rămas!

    8. PG în viața reală – “Totul e exponențial!”

    1. Dobânzile compuse la bancă – banii tăi cresc geometric!
    2. Creșterea populației în condiții ideale
    3. Decăderea radioactivă – substanța scade geometric în timp
    4. Viralizarea pe rețelele sociale
    5. Epidemiile – fiecare bolnav infectă mai mulți alții
    6. Puterea de cumpărare în timpul inflației (scade geometric)
    7. Tehnologia – puterea procesoarelor se dublează aproximativ la 2 ani (Legea lui Moore)

    CONCLUZIE FINALĂ – “DE CE PG SUNT CELE MAI PUTERNICE”

    Progresiile geometrice sunt FORȚELE NATURII exprimate matematic! De ce sunt speciale?

    1. Sunt impredictibile la scară mare – o PG cu q>1 crește mai repede decât orice PA!
    2. Modelează schimbări drastice – de la boom-uri economice la colapsuri ecologice
    3. Sunt esența creșterii exponențiale – care e peste tot în univers

    Comparație finală PG vs PA:

    • PA: Aduni aceeași cantitate: 10, 20, 30, 40, … (+10)
    • PG: Înmuțești cu același factor: 10, 20, 40, 80, … (×2)
    • După 10 pași: PA ajunge la 100, PG ajunge la 5120! 🤯

    Sfaturi pentru BAC:

    1. Identifică rapid: a₁ = ?, q = ?, n = ?
    2. Atenție la q: e subunitar, peste 1, negativ?
    3. Pentru sumă: folosește formula corectă în funcție de q
    4. Pentru probleme cu “crește cu X%”: q = 1 + X/100
    5. Pentru probleme cu “scade cu X%”: q = 1 – X/100

    Regula de aur: Când vezi “se dublează”, “se înjumătățește”, “procent fix” → gândește-te la PG!

    Ultima imagine pentru memoria vizuală:
    Gândește-te la PG ca la o peliculă foto care se autoreproduce:

    • a₁ = prima fotografie
    • q = de câte ori se reproduce fiecare copie
    • n = numărul de generații
    • aₙ = câte fotografii sunt în generația n
    • Sₙ = totalul fotografiilor din toate generațiile

    În lumea reală, PG sunt atât de puternice încât:

    • O PG cu q=2 depășește populația Pământului după doar 33 de pași (dacă pornești de la 1)
    • O bacterie care se divide la fiecare 20 de minute ar umple un ocean în câteva zile (dacă n-ar muri niciuna)

    Acum ai în mână una dintre cele mai fascinante unelte matematice. Folosește-o cu înțelepciune, pentru că puterea geometrică poate construi civilizații… sau le poate distruge!

    Și amintește-ți: Orice obicei bun (sau rău) se multiplică geometric. Alege-ți cu înțelepciune rația vieții tale! 💥

  • Progresii Aritmetice: Matematică în ritm de manele crescătoare!

    Salutare, matematicieni în devenire! Azi vorbim despre Progresii Aritmetice (PA) – probabil cel mai cool și mai ușor de înțeles tip de șir. Dacă șirurile sunt ca playlists, progresiile aritmetice sunt playlist-urile cu hit-uri care cresc sau scad cu același beat constant. E ca și cum ai asculta manele la volum din ce în ce mai tare (sau mai încet, după preferințe)!

    1. Ce e o Progresie Aritmetică? “Cățelușii cu ochi albaștri”

    Definiție oficială: Un șir în care diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este CONSTANTĂ.

    Definiție pe înțelesul meu: E ca o scară – treptele sunt la aceeași distanță între ele!

    Exemplu din viața reală: Săptămâna economiilor

    • Luni: am 10 lei în pușculiță
    • Marți: adaug 5 lei → am 15 lei
    • Miercuri: adaug inca 5 lei → am 20 lei
    • Joi: adaug iar 5 lei → 25 lei

    Șirul: 10, 15, 20, 25, 30, …
    RATIA (notată cu r) = diferența constantă = +5 lei
    Fiecare zi ai cu 5 lei mai mult decât ziua precedentă!

    Terminologia esențială:

    • a₁ = primul termen = 10 lei
    • r = rația = +5 lei (dacă crește) sau -5 lei (dacă scade)
    • aₙ = al n-lea termen
    • n = numărul de ordine (a câta zi/săptămână/lună etc.)
    GRAFIC TEXT - PROGRESIE ARITMETICĂ CRESCĂTOARE:
Treapta 1: a₁ = 10 lei
          │
          │ (+5 lei = rația r)
          ↓
Treapta 2: a₂ = 15 lei
          │
          │ (+5 lei)
          ↓
Treapta 3: a₃ = 20 lei
          │
          │ (+5 lei)
          ↓
Treapta 4: a₄ = 25 lei

RAȚIA r = 5 (constantă!) <- SECRETUL PA!

    2. Formula Termenului General – “Mașinăria magică”

    Ți-am spus că PA sunt ușoare? Uite de ce:

    Formula: ( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r )

    Traducere: Pentru a ajunge la treapta n, pornesc de la prima treaptă (a₁) și urc (n-1) trepte, fiecare de mărime r.

    Exemplu: Să revenim la economiile noastre

    • a₁ = 10 lei (primul termen)
    • r = 5 lei (rația)
    • Vrem să știm câți bani avem după 7 zile (n=7)

    ( a_7 = 10 + (7-1) \cdot 5 )
    ( a_7 = 10 + 6 \cdot 5 )
    ( a_7 = 10 + 30 = 40 ) lei

    Verificare rapidă:
    Ziua 1: 10 lei
    Ziua 2: 15 lei (+5)
    Ziua 3: 20 lei (+5)
    Ziua 4: 25 lei (+5)
    Ziua 5: 30 lei (+5)
    Ziua 6: 35 lei (+5)
    Ziua 7: 40 lei (+5) ✓

    Truc util: Cum găsești rația?

    Formula: ( r = a_{n} – a_{n-1} )

    Adică: scazi termenul precedent din termenul curent.

    Exemplu: Ști că a₅ = 23 și a₆ = 30
    ( r = a₆ – a₅ = 30 – 23 = 7 )

    3. Progresii Descrescătoare – “Coborârea de pe munte”

    Da, și astea sunt PA! Doar că rația e negativă.

    Exemplu dramatic: Nivelul de răbdare al părinților în vacanța de vară cu copiii

    • Ziua 1: 100% răbdare
    • Ziua 2: 85% (“Nu vă mai certați!”)
    • Ziua 3: 70% (“Așa am zis ieri?!”)
    • Ziua 4: 55% (“Mă duc să-mi iau o cafea…”)
    • Ziua 5: 40% (“Când se termină vacanța?!”)

    Șirul: 100, 85, 70, 55, 40, …
    a₁ = 100%
    r = -15% (scade cu 15% pe zi)
    n = 5 (a cincea zi)

    După 7 zile: ( a_7 = 100 + (7-1) \cdot (-15) )
    ( a_7 = 100 + 6 \cdot (-15) )
    ( a_7 = 100 – 90 = 10\% ) răbdare rămasă ⚠️

    GRAFIC TEXT - PA DESCĂSCĂTOARE:
Nivel răbdare
100% │ ● a₁
      │    \
85%  │       ● a₂
      │          \
70%  │             ● a₃
      │                \
55%  │                   ● a₄
      │                      \
40%  │                         ● a₅
      │
      └─────────────────────────────> Zile
       1    2    3    4    5

RAȚIA: r = -15% (constantă negativă)

    4. Suma primilor n termeni – “Bani la grămadă!”

    Aici devine interesant! Cum calculezi totalul economiilor după n zile? Nu doar ce ai în ziua n, ci suma tuturor zilelor!

    Formula sumei: ( S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} )

    Traducere: Suma = (numărul de termeni) × (primul + ultimul) ÷ 2

    Exemplu: Economiile noastre săptămânale (7 zile)
    Știm: a₁ = 10 lei, a₇ = 40 lei, n = 7

    ( S_7 = \frac{7 \cdot (10 + 40)}{2} )
    ( S_7 = \frac{7 \cdot 50}{2} )
    ( S_7 = \frac{350}{2} = 175 ) lei total după 7 zile

    Verificare manuală: 10+15+20+25+30+35+40 = 175 lei ✓

    A doua formulă a sumei (când nu știi aₙ):

    ( S_n = \frac{n \cdot [2a_1 + (n-1) \cdot r]}{2} )

    Același exemplu:
    ( S_7 = \frac{7 \cdot [2 \cdot 10 + (7-1) \cdot 5]}{2} )
    ( S_7 = \frac{7 \cdot [20 + 6 \cdot 5]}{2} )
    ( S_7 = \frac{7 \cdot [20 + 30]}{2} )
    ( S_7 = \frac{7 \cdot 50}{2} = 175 ) lei ✓

    5. Probleme practice cu PA – “Povesti matematice”

    Problema 1: Salariul cu spor anual

    Lucrezi la o firmă care îți mărește salariul cu 500 lei în fiecare an.

    • Anul 1: 3000 lei/lună
    • Anul 2: 3500 lei/lună
    • Anul 3: 4000 lei/lună

    Întrebare: Cât vei câștiga în anul 10?
    ( a_{10} = 3000 + (10-1) \cdot 500 )
    ( a_{10} = 3000 + 9 \cdot 500 )
    ( a_{10} = 3000 + 4500 = 7500 ) lei/lună

    Întrebare bonus: Care e suma totală câștigată în primii 5 ani? (60 de luni)
    a₁ = 3000 (prima lună)
    a₆₀ = ? (luna 60 = anul 5)

    Mai întâi aflu a₆₀:
    ( a_{60} = 3000 + (60-1) \cdot 500 )
    ( a_{60} = 3000 + 59 \cdot 500 )
    ( a_{60} = 3000 + 29500 = 32500 ) lei (!!! în ultima lună)

    Acum suma:
    ( S_{60} = \frac{60 \cdot (3000 + 32500)}{2} )
    ( S_{60} = 30 \cdot 35500 = 1.065.000 ) lei în 5 ani!

    Problema 2: Scăderea prețului telefonului

    Un telefon nou costă 4000 lei și se ieftinește cu 10% din prețul inițial în fiecare lună.

    • Luna 1: 4000 lei
    • Luna 2: 3600 lei (4000 – 400)
    • Luna 3: 3200 lei (3600 – 400)

    a₁ = 4000 lei
    r = -400 lei (10% din 4000)
    n = ? când ajunge la 1200 lei?

    Folosim: ( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r )
    ( 1200 = 4000 + (n-1) \cdot (-400) )
    ( 1200 – 4000 = (n-1) \cdot (-400) )
    ( -2800 = (n-1) \cdot (-400) )
    ( n-1 = \frac{-2800}{-400} = 7 )
    ( n = 8 ) luni

    Răspuns: După 8 luni telefonul costă 1200 lei.

    6. Proprietăți super importante – “Legile PA”

    1. Proprietatea termenului egal depărtat:
      ( a_k + a_m = a_p + a_q ) dacă ( k + m = p + q ) Exemplu: În PA: 2, 5, 8, 11, 14, 17…
      a₂ + a₆ = 5 + 17 = 22
      a₃ + a₅ = 8 + 14 = 22
      a₄ + a₄ = 11 + 11 = 22 Indicele 2+6 = 3+5 = 4+4 = 8 ✓
    2. Trei termeni consecutivi:
      Dacă x, y, z sunt în PA, atunci: ( y = \frac{x + z}{2} ) Adică: termenul din mijloc = media aritmetică a vecinilor! Exemplu: 7, ?, 15 sunt în PA
      Termenul mijlociu = ( \frac{7 + 15}{2} = 11 )
      Verificare: 7, 11, 15 cu r=4 ✓
    3. Recunoașterea unei PA:
      Un șir e PA dacă ( a_{n+1} – a_n = constant ) pentru orice n.

    7. PA în viața reală – “Uitate-n jur!”

    1. Scări – treptele sunt la distanță egală → PA
    2. Ceasul – minutele de la un anumit moment: 0, 5, 10, 15, … minute
    3. Plățile ratei (dacă dobânda e fixă)
    4. Reducerea periodică a prețurilor la sale
    5. Creșterea înălțimii copilului (în perioade regulate)
    6. Numărul de likes pe o postare virală care crește constant

    CONCLUZIE FINALĂ – “CHEIA TA PENTRU BAC ȘI VIAȚĂ”

    Progresiile aritmetice sunt cele mai prietenoase ființe matematice pe care le vei întâlni la BAC. De ce?

    1. Sunt previzibile – știi exact unde merg
    2. Au formule simple pe care le poți deduce chiar tu dacă uiți:
    • Dacă știi primul termen și rația → găsești orice termen
    • Dacă știi doi termeni → găsești rația și tot restul
    • Dacă vrei suma → folosești “primul + ultimul” ori de câte ori poți

    Regula de aur: Când vezi o problemă cu “crește constant” sau “scade constant” → gândește-te la PA!

    Sfaturi pentru BAC:

    1. Identifică rapid: a₁ = ?, r = ?, n = ?
    2. Alege formula potrivită: pentru termen sau pentru sumă
    3. Verifică dacă rația e pozitivă (crește) sau negativă (scade)
    4. Atenție la unități de măsură și la ce cere problema

    Ultimul exemplu, să rămână în minte:
    Gândește-te la PA ca la o mașină care merge cu viteză constantă:

    • a₁ = de unde pornești
    • r = viteza constantă (pozitivă = înainte, negativă = înapoi)
    • n = timpul
    • aₙ = unde ești după timpul n
    • Sₙ = drumul total parcurs

    Matematica asta nu e doar pentru BAC. E pentru a înțelege lumea în ritm regulat. Viața are și ea progresii aritmetice: fiecare zi înveți ceva nou (+r), fiecare lună economisești ceva (+r), fiecare an devii mai înțelept (+r).

    Acum du-te și fă câteva exerciții! Începe cu cele simple și vezi cum te prinzi de pattern. PA sunt prietenoase, dar ca orice prieten, trebuie să petreci timp cu ele ca să vă înțelegeți!

    Și amintește-ți: Orice progres (aritmetic sau nu) începe cu un prim pas. Al tău este să înțelegi asta! 💪

  • Ce este un șir în matematică?

    Bun, hai să vorbim despre un concept pe care îl întâlnim în fiecare zi, dar pe care puțini îl recunosc sub masca sa matematică: ȘIRURILE. Gândește-te la ele ca la coada ordonată la mega-image: fiecare persoană are un număr, o poziție clară, și știi exact cine vine după cine. Asta e esența unui șir în matematică: o listă ordonată de numere (sau alte obiecte) care se comportă frumos și predictibil. E unul dintre cele mai elegante și utile concepte din matematica de liceu.

    1. Ce este un șir? Modalități de a-l defini

    Un șir e ca o playlist matematică: fiecare melodie (termen) are un număr de ordine (indice). Și exact ca la Spotify, poți să-l definești în mai multe moduri:

    1. Formula termenului general – “Rețeta magică”

    Îți dau o rețetă care funcționează pentru orice poziție! E ca o mașinărie: bagi n (numărul de ordine), iese termenul.

    Exemplu real: Prețul benzinei săptămânal
    Dacă benzina crește cu 0.10 lei în fiecare săptămână, și azi e 7.00 lei:
    Formula: ( a_n = 7.00 + (n-1) \cdot 0.10 )
    Unde n = a câta săptămână e
    Pentru săptămâna 1: ( a_1 = 7.00 )
    Pentru săptămâna 5: ( a_5 = 7.00 + 4 \cdot 0.10 = 7.40 ) lei

    2. Recurența – “Domino matematic”

    Îți spun doar primul termen și regula de trecere de la un termen la următorul. E ca un șir de domino: arunci primul, iar fiecare îl dă pe următorul jos.

    Exemplu real: Contul de economii cu dobândă
    Ai 1000 lei în cont. Primești 5% dobândă în fiecare lună:
    ( a_1 = 1000 ) (primul termen)
    ( a_{n+1} = a_n + 0.05 \cdot a_n ) (fiecare termen = precedentul + 5% din el)
    Adică: ( a_{n+1} = 1.05 \cdot a_n )

    Luna 1: 1000 lei
    Luna 2: 1050 lei (1000 + 5%)
    Luna 3: 1102.5 lei (1050 + 5%) … și tot așa!

    3. Descrierea verbală – “Povestea șirului”

    Pur și simplu îți spun ce reprezintă șirul în cuvinte.

    Exemplu real: Temperaturile maxime zilnice din august
    “Șirul temperaturilor maxime înregistrate în fiecare zi a lunii august 2023”

    4. Listarea – “Shopping list-ul matematic”

    Doar îți arăt primii termeni și sper că prinzi regulă.

    ( 2, 4, 6, 8, 10, … ) – Evident, numere pare!
    ( 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … ) – Recunoști? E celebrul șir Fibonacci!

    GRAFIC TEXT - COMPARAȚIE MODALITĂȚI:
Formula:         a_n = 3n + 2
                 ↓
Primii termeni:  5, 8, 11, 14, 17, ...

Recurență:       a_1 = 5
                 a_{n+1} = a_n + 3
                 ↓
Acelasi șir:     5, 8, 11, 14, 17, ...

Descriere:       "Numerele care împărțite la 3 dau restul 2"

    2. Șiruri Mărginite – “Șirurile cu garduri”

    Un șir mărginit e ca un câine dresat: are limite clare între care se mișcă, nu poate să dispară în cosmos.

    Șir mărginit superior

    Are un “tavan” de care nu depășește NICIODATĂ.
    Exemplu din viață: Scorurile la un test unde maximul e 100
    ( 78, 85, 92, 65, 100, 88, … ) – Toate sunt ≤ 100
    Matematic: ∃ M astfel încât ( a_n ) ≤ M pentru orice n

    Șir mărginit inferior

    Are un “pardoseală” sub care nu cade NICIODATĂ.
    Exemplu din viață: Temperaturi absolute (în Kelvin) – niciodată sub zero absolut
    ( 290, 295, 288, 292, … ) – Toate sunt > 0
    Matematic: ∃ m astfel încât ( a_n ) ≥ m pentru orice n

    Șir mărginit (atât sus cât și jos)

    E ca un elevator într-o clădire: are etajul minim și etajul maxim între care circulă.
    Exemplu matematic: ( a_n = \frac{(-1)^n}{n} )
    Termenii: -1, 1/2, -1/3, 1/4, -1/5, …
    Toți sunt între -1 și 1/2!

    GRAFIC TEXT - MĂRGINIRE:
Șir nemărginit:    o~~~~~~~~~~> (fuge la infinit)
                   (temperatura cu încălzirea globală)

Șir mărginit:      |---o---o--o---o---o---|
                   (variatia pulsului la cardio)

Tavan (M):         ------------M------------
                   o   o    o      o    o

Pardoseala (m):    m------------------------
                      o     o   o     o   o

    3. Șiruri Monotone – “Șirurile cu direcție clară”

    Acestea sunt șirurile previzibile, care merg într-o singură direcție. Nu se întorc ca soțul care a uitat cheile acasă.

    Șir crescător – “Urcați pe scară!”

    Fiecare termen e mai mare sau egal cu precedentul.
    ( a_{n+1} ≥ a_n ) pentru toți n

    Exemplu amuzant: Numărul de mesaje din grupul de familie în ajun de sărbători
    Ziua 1: 5 mesaje
    Ziua 2: 12 mesaje
    Ziua 3: 27 mesaje
    Ziua 24 decembrie: 148 mesaje (toate cu “La mulți ani!” trimise prematur)

    Exemplu matematic: ( a_n = 2n – 1 ) (numere impare)
    1, 3, 5, 7, 9, … – Strict crescător!

    Șir descrescător – “Coborâți cu grijă!”

    Fiecare termen e mai mic sau egal cu precedentul.
    ( a_{n+1} ≤ a_n ) pentru toți n

    Exemplu din viață: Nivelul bateriei telefonului când uiți încărcătorul
    Dimineața: 100%
    La prânz: 47%
    Seara: 3%
    Noaptea: 1% și panică

    Exemplu matematic: ( a_n = \frac{10}{n} )
    10, 5, 3.33, 2.5, 2, … – Strict descrescător!

    Șir constant – “Stat la coadă la ghiseu”

    Nu se mișcă deloc! Toți termenii sunt egali.
    ( a_{n+1} = a_n ) pentru toți n

    Exemplu tragicomic: Numărul de persoane din fața ta la ANFP când tocmai s-a deschis un singur ghișeu
    8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, … (timp de 45 de minute)

    GRAFIC TEXT - MONOTONIE:
Crescător:        o----o-----o------o-------o------>
                  (banii din cont la salariu)

Descrescător:     o------o-----o----o---o-->
                  (nivelul cafelei în cană)

Constant:         o  o  o  o  o  o  o
                  (temperatura camerei cu termostat)

Nemonoton:        o   o     o       o   o
                    (temperatura în Aprilie)

    Analogie finală care leagă totul:

    Gândește-te la un șir ca la o excursie cu mașina:

    • Modalitatea de definire = Harta sau GPS-ul tău (îți spune unde mergi)
    • Mărginirea = Granițele țării prin care călătorești (nu poți să disperi)
    • Monotonia = Trendul altitudinii:
    • Crescător = Urci în Carpați
    • Descrescător = Coboari spre mare
    • Constant = Drum drept prin câmpie
    • Nemonoton = Transfăgărășan cu urcușuri și coborâșuri

    De ce îți pasă? (Spoiler: pentru BAC și pentru viață!)

    1. Pentru BAC: 30% din problemele de analiză matematică încep cu “Fie șirul…”
    2. Pentru viață: Înțelegi tendințe (economice, sociale, personale)
    3. Pentru gândire critică: Înveți să diferențiezi între “mereu crește” și “doar acum a crescut”

    Sfatul meu de profesor: Nu memora definiții ca papagalul. Gândește-te la aplicații reale. Când vezi un șir, întreabă-te:

    • “Unde-aș putea să văd așa ceva în viața reală?”
    • “Ce poveste spune acest șir?”
    • “Unde vrea să ajungă? La infinit sau stă cuminte între anumite limite?”

    Matematica nu e despre formule reci, e despre a înțelege mișcarea și schimbarea în univers. Și șirurile sunt una dintre cele mai clare fotografii ale acestei mișcări ordonate.

    Acum ține minte: Data viitoare când ești la coadă, privește-o ca pe un șir. Tu ești termenul ( a_n ), cel din fața ta e ( a_{n-1} ), cel din spate e ( a_{n+1} ). Și dacă coada se mișcă încet și plictisitor, măcar te poți gândi că participi la matematică în direct!