Author: admin

Bun, hai să vorbim despre cea mai fascinantă și fundamentală figură geometrică. Triunghiul. Nu e doar trei linii puse la un loc. E prima figură închisă, cea mai simplă poligon, fundamentul întregii geometriei. Triunghiul e atât de important încât, dacă înțelegi triunghiurile, înțelegi baza întregii matematici spațiale. Dar aici intervine și partea frumoasă: varietatea lor – fiecare tip de triunghi are personalitatea lui.

1. Ce e un Triunghi? (Spoiler: Nu e Doar Trei Linii)

Gândește-te la el ca la cea mai simplă figură închisă pe care o poți face cu linii drepte. Ca la o “familie” de trei puncte legate între ele.

Definiție formală: Figura geometrică formată din trei puncte necoliniare și cele trei segmente care le unesc.

Elementele unui triunghi:

• Vârfurile: punctele A, B, C
• Laturile: segmentele AB, BC, CA
• Unghiurile: ∡A, ∡B, ∡C (la vârfurile respective)

Notație: ΔABC (triunghiul cu vârfurile A, B, C)

Condiție fundamentală (inegalitatea triunghiului):
Suma lungimilor oricăror două laturi este mai mare decât lungimea celei de-a treia laturi.

AB + BC > AC
BC + CA > AB  
CA + AB > BC

Perimetrul: P = AB + BC + CA

Semiperimetrul: p = P/2

2. Clasificarea Triunghiurilor după Laturi

Aceasta e cea mai intuitivă clasificare – ne uităm la egalitatea laturilor.

1. Triunghi Oarecare (Scalen)

Definiție: Triunghi cu toate laturile de lungimi diferite.

AB ≠ BC ≠ CA ≠ AB

Proprietăți:

• Toate laturile au lungimi diferite
• Toate unghiurile au măsuri diferite
• Nu are axe de simetrie

Exemplu numeric: Laturile 3 cm, 4 cm, 5 cm

Reprezentare:

       C
      / \
     /   \
    /     \
   /       \
  A---------B

2. Triunghi Isoscel

Definiție: Triunghi cu două laturi egale.

AB = AC ≠ BC   (sau orice alte două egale)

Terminologie:

• Laturi egale: laturile congruente (AB și AC)
• Bază: latura neegală (BC)
• Unghiuri de la bază: unghiurile opuse laturilor egale (∡B și ∡C) – sunt congruente!

Proprietăți:

• Două laturi congruente
• Două unghiuri congruente (cele opuse laturilor egale)
• Are o axă de simetrie (bisectoarea unghiului de la vârf)
• Înălțimea, mediana, bisectoarea și mediatoarea corespunzătoare bazei coincid

Exemplu numeric: Laturile 5 cm, 5 cm, 3 cm

Reprezentare:

       A
      / \
     /   \
    /     \
   /       \
  B---------C
AB = AC
∡B = ∡C

3. Triunghi Echilateral

Definiție: Triunghi cu toate laturile egale.

AB = BC = CA

Proprietăți:

• Toate laturile congruente
• Toate unghiurile congruente (fiecare de 60°)
• Are trei axe de simetrie
• Toate liniile importante (înălțimi, mediane, bisectoare, mediatoare) coincid
• Centrul de greutate, ortocentrul, centrul cercului înscris și centrul cercului circumscris coincid

Exemplu numeric: Laturile 6 cm, 6 cm, 6 cm

Reprezentare:

       A
      / \
     /   \
    /     \
   /       \
  B---------C
AB = BC = CA = 6 cm
∡A = ∡B = ∡C = 60°

3. Clasificarea Triunghiurilor după Unghiuri

Această clasificare se bazează pe măsura unghiurilor.

1. Triunghi Ascuțitunghic

Definiție: Triunghi cu toate unghiurile ascuțite (< 90°).

∡A < 90°, ∡B < 90°, ∡C < 90°

Proprietăți:

• Toate unghiurile < 90°
• Pătratul oricărei laturi este mai mic decât suma pătratelor celorlalte două
• Ortocentrul se află în interiorul triunghiului

Exemplu: Unghiurile 50°, 60°, 70°

2. Triunghi Dreptunghic

Definiție: Triunghi cu un unghi drept (= 90°).

∡A = 90°   (de exemplu)

Terminologie specială:

• Catete: laturile care formează unghiul drept (AB și AC)
• Ipotenuză: latura opusă unghiului drept (BC) – este cea mai lungă latură

Proprietăți:

• Un unghi de 90°
• Teorema lui Pitagora: BC² = AB² + AC²
• Ortocentrul coincide cu vârful unghiului drept
• Cercul circumscris are centrul în mijlocul ipotenuzei
• Raza cercului circumscris = jumătate din ipotenuză

Exemplu numeric: Laturile 3 cm, 4 cm, 5 cm (3² + 4² = 5²)

Reprezentare:

       A
      /|
     / |
    /  |
   /   |
  /____|
 B     C
∡A = 90°
AB și AC sunt catete
BC este ipotenuza

3. Triunghi Obtuzunghic

Definiție: Triunghi cu un unghi obtuz (> 90°).

∡A > 90°   (de exemplu)

Proprietăți:

• Un unghi > 90°
• Pătratul laturii opuse unghiului obtuz este mai mare decât suma pătratelor celorlalte două laturi
• Ortocentrul se află în exteriorul triunghiului

Exemplu: Unghiurile 100°, 40°, 40°

4. Linii Importante în Triunghi

1. Mediana

Segmentul care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse.
Proprietate: Cele trei mediane se intersectează în centrul de greutate (G), care împarte fiecare mediană în raportul 2:1.

2. Bisectoarea

Segmentul care împarte un unghi în două părți egale.
Proprietate: Cele trei bisectoare se intersectează în centrul cercului înscris.

3. Mediatoarea

Dreapta perpendiculară pe o latură în mijlocul ei.
Proprietate: Cele trei mediatoare se intersectează în centrul cercului circumscris.

4. Înălțimea

Segmentul perpendicular de la un vârf pe latura opusă (sau prelungirea ei).
Proprietate: Cele trei înălțimi se intersectează în ortocentru.

5. Tabel Comparativ: Toți Frații Triunghi

Tip Triunghi	Laturi	Unghiuri	Simetrie	Exemple din viața reală
Oarecare	Toate diferite	Toate diferite	0 axe	Șevalet tablou, panouri solare înclinate
Isoscel	2 egale, 1 diferită	2 egale (la bază)	1 axă	Fronton casă, jgheab, mâini ceas
Echilateral	Toate egale	Toate 60°	3 axe	Semnul Mercedes, faruri triunghiulare
Ascuțitunghic	–	Toate < 90°	–	Acoperișuri înalte
Dreptunghic	–	Unul 90°	–	Echer, colț de carte, triunghi de semnalizare
Obtuzunghic	–	Unul > 90°	–	Aripioane avion

6. Teoreme și Formule Importante

Teorema lui Pitagora (doar pentru dreptunghic):

a² + b² = c²
unde c este ipotenuza, a și b sunt catetele

Formula ariei:

A = (bază × înălțime)/2
A = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]   (Formula lui Heron, pentru orice triunghi)

Teorema sinusurilor:

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
unde R este raza cercului circumscris

Teorema cosinusurilor:

a² = b² + c² - 2bc·cosA   (generalizarea lui Pitagora)

7. Cum Determinăm Tipul unui Triunghi

Dacă cunoaștem laturile:

1. Dacă a = b = c → echilateral
2. Dacă două laturi sunt egale → isoscel
3. Altfel → oarecare

Dacă cunoaștem unghiurile:

1. Dacă un unghi = 90° → dreptunghic
2. Dacă un unghi > 90° → obtuzunghic
3. Dacă toate < 90° → ascuțitunghic

Testul lui Pitagora:

Pentru laturile a, b, c cu c cea mai mare:

• Dacă a² + b² = c² → dreptunghic
• Dacă a² + b² > c² → ascuțitunghic
• Dacă a² + b² < c² → obtuzunghic

8. Aplicații Practice – Triunghiuri în Viața Reală

În construcții și arhitectură:

• Triunghiuri dreptunghice: pentru colțuri drepte, stabilirea perpendicularității
• Triunghiuri echilaterale: pentru structuri stabile (turnuri Eiffel are multe)
• Triunghiuri isoscele: pentru frontoane, acoperișuri

În inginerie:

• Structuri triunghiulare: cele mai stabile (podoabe, poduri)
• Triunghiuri dreptunghice: în trigonometrie pentru calculul distanțelor

În navigație și geografie:

• Triangulația: metoda de determinare a poziției folosind triunghiuri
• Hărțile: folosesc triunghiuri pentru proiecții

În design și artă:

• Triunghiul echilateral: simbol al egalității, echilibrului
• Triunghiul dreptunghic: stabilitate, ordine

În sport:

• Triunghiuri de pasă în fotbal
• Formațiuni triunghiulare în baschet

9. Probleme Rezolvate Pas cu Pas

Problema 1: Să se determine tipul triunghiului cu laturile 7 cm, 8 cm, 9 cm.

Rezolvare:

7 ≠ 8 ≠ 9 → nu este isoscel sau echilateral
Verificăm: 7² + 8² = 49 + 64 = 113
9² = 81
113 > 81 → a² + b² > c² → ascuțitunghic
Răspuns: Oarecare ascuțitunghic

Problema 2: Într-un triunghi isoscel, unghiul de la vârf este de 40°. Află unghiurile de la bază.

Rezolvare:

Într-un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale.
Suma unghiurilor într-un triunghi = 180°
Fie x măsura unui unghi de la bază.
40° + x + x = 180°
40° + 2x = 180°
2x = 140°
x = 70°
Răspuns: Unghiurile de la bază sunt de 70° fiecare.

Problema 3: Să se arate că triunghiul cu laturile 5 cm, 12 cm, 13 cm este dreptunghic.

Rezolvare:

Cea mai mare latură este 13 cm.
Verificăm teorema lui Pitagora:
5² + 12² = 25 + 144 = 169
13² = 169
169 = 169 ✓
Răspuns: Este dreptunghic (5 și 12 sunt catete, 13 ipotenuză)

Problema 4: Calculați aria unui triunghi echilateral cu latura de 6 cm.

Rezolvare:

În triunghiul echilateral, înălțimea h = l√3/2
h = 6√3/2 = 3√3 cm
A = (bază × înălțime)/2 = (6 × 3√3)/2 = 9√3 cm²

10. Demonstrații Geometrice Importante

Demonstrație că unghiurile de la bază într-un triunghi isoscel sunt egale:

Fie ΔABC isoscel cu AB = AC.
Ducem bisectoarea AD.
ΔABD ≡ ΔACD (L.U.L.: AB=AC, ∡BAD=∡CAD, AD comună)
Deci ∡B = ∡C.

Demonstrație că unghiurile unui triunghi echilateral sunt de 60°:

Fie ΔABC echilateral cu AB = BC = CA.
Din AB = AC → ∡B = ∡C (isoscel)
Din AB = BC → ∡A = ∡C (isoscel)
Deci ∡A = ∡B = ∡C = 180°/3 = 60°.

11. Capcane și Greșeli Frecvente

Capcana 1: “Isoscel înseamnă doar două laturi egale”

GREȘIT: Într-un triunghi isoscel, numai laturile sunt egale ✗
CORECT: Într-un triunghi isoscel, și unghiurile opuse laturilor egale sunt egale ✓

Capcana 2: “Echilateral este un caz particular de isoscel”

CORECT dar ATENȚIE: Triunghiul echilateral ARE toate proprietățile triunghiului isoscel, dar reciproca nu e adevărată.

Capcana 3: “Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este întotdeauna cea mai lungă latură”

CORECT ✓ Dar atenție: nu orice triunghi cu o latură lungă este dreptunghic!

Capcana 4: Confuzia între clasificările după laturi și după unghiuri

Un triunghi poate fi: isoscel ȘI dreptunghic!
Exemplu: triunghiul cu unghiurile 45°, 45°, 90°

Capcana 5: “Triunghiul cu laturile 3, 4, 5 este singurul dreptunghic”

GREȘIT ✗ Există infinit de triunghiuri dreptunghice: 5,12,13; 8,15,17; etc.

12. Exerciții Practice

Determină tipul triunghiului:

1. Laturile: 5 cm, 5 cm, 7 cm (Isoscel)
2. Unghiurile: 30°, 60°, 90° (Dreptunghic)
3. Laturile: 8 cm, 8 cm, 8 cm (Echilateral)
4. Laturile: 6 cm, 7 cm, 10 cm (Oarecare obtuzunghic: 6²+7²=85 < 100)

Probleme:

1. Într-un triunghi isoscel, baza are 10 cm și perimetrul este 36 cm. Cât măsoară laturile egale? (13 cm fiecare)
2. Aria unui triunghi dreptunghic cu catetele 6 cm și 8 cm este? (24 cm²)
3. Un triunghi echilateral are latura de 10 cm. Care este înălțimea sa? (5√3 ≈ 8.66 cm)

Concluzie: Să-ți spun ceva direct

Triunghiurile nu sunt doar niște figuri geometrice abstracte. Sunt structurile fundamentale care organizează spațiul, de la moleculele de apă până la grinzile podurilor. Fiecare tip de triunghi își are rolul și proprietățile sale unice.

Cele mai multe greșeli vin din înțelegerea incompletă a definițiilor sau din confuzia între diferitele clasificări.

Așa că ia o foaie și:

1. Desenează un triunghi oarecare
2. Desenează un triunghi isoscel
3. Desenează un triunghi echilateral
4. Desenează un triunghi dreptunghic
5. Pentru fiecare, notează proprietățile specifice

Pentru că puterea adevărată a triunghiurilor nu este în clasificarea lor, ci în proprietățile lor unice și în aplicațiile lor practice. O dată ce înțelegi că stabilitatea podurilor, rezistența clădirilor, și chiar structura unor molecule se bazează pe proprietățile triunghiurilor, geometria devine o știință vie și aplicabilă.

Sfat de final: Învață să “vezi” triunghiurile în jurul tău. În structurile metalice, în acoperișurile caselor, în designul mobilierului. Fiecare tip de triunghi are rostul său: echilateralul pentru stabilitate maximă, isoscelul pentru simetrie elegantă, dreptunghicul pentru construcții practice. Geometria nu e abstractă – e peste tot!

Bun, hai să vorbim despre două concepte care stau la baza întregii geometrii și a întregii noastre percepții a spațiului. Paralelismul și perpendicularitatea. Nu sunt doar niște poziții relative ale dreptelor. Sunt principiile fundamentale care organizează spațiul în jurul nostru, de la arhitectura clădirilor până la designul pantofilor. E un dublu concept atât de esențial încât, dacă îl stăpânești, înțelegi structura lumii construite.

1. Drepte Paralele – Cele Care Nu Se Întâlnesc Niciodată

Gândește-te la ele ca la șinele de tren care merg mereu împreună, la aceeași distanță, dar nu se ating niciodată.

Definiție formală: Două drepte sunt paralele dacă sunt coplanare (se află în același plan) și nu au niciun punct comun.

Definiție intuitivă: Drepte care merg în aceeași direcție, la aceeași distanță între ele, pe vecie.

Notație: d₁ ∥ d₂ (se citește “dreapta d₁ paralelă cu dreapta d₂”)

Condiție de paralelism: Două drepte sunt paralele dacă au aceeași pantă (în coordonate).

d₁: y = m₁x + n₁
d₂: y = m₂x + n₂
d₁ ∥ d₂ ⇔ m₁ = m₂

Exemple din viața reală:

• Șinele de tren
• Liniile de pe o foaie de matematică
• Marginile unui cărții
• Stâlpii de gard la distanțe egale

2. Proprietăți Fundamentale ale Dreptelor Paralele

1. Axioma paralelelor (axioma lui Euclid):

Printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la dreapta dată.

P ∉ d
∃! d' ∋ P și d' ∥ d

2. Relația de echivalență:

• Reflexivitate: Orice dreaptă e paralelă cu ea însăși (d ∥ d)
• Simetrie: Dacă d₁ ∥ d₂, atunci d₂ ∥ d₁
• Tranzitivitate: Dacă d₁ ∥ d₂ și d₂ ∥ d₃, atunci d₁ ∥ d₃

3. Distanța dintre drepte paralele:

Este constantă – aceeași în orice punct.

Dist(d₁, d₂) = constantă

4. Unghiuri formate cu o secantă:

Când o dreaptă intersectează două drepte paralele:

     t (secanta)
    / \
   /   \
d₁/_____\d₂
 /       \
/_________\

• Unghiuri corespondente: sunt egale
• Unghiuri alterne interne: sunt egale
• Unghiuri alterne externe: sunt egale
• Unghiuri interne de aceeași parte a secantei: sunt suplementare

3. Drepte Perpendiculare – Cele Care Se Întâlnesc “Drept”

Gândește-te la ele ca la coltul unei cărți, la intersecția dintre perete și podea, la ceasul arătând ora 3:00.

Definiție formală: Două drepte sunt perpendiculare dacă sunt concurente (se intersectează) și formează unghiuri drepte (de 90°).

Definiție intuitivă: Drepte care se intersectează formând “colțuri perfect pătrate”.

Notație: d₁ ⊥ d₂ (se citește “dreapta d₁ perpendiculară pe dreapta d₂”)

Condiție de perpendicularitate: Două drepte sunt perpendiculare dacă produsul pantelor lor este -1.

d₁: y = m₁x + n₁
d₂: y = m₂x + n₂
d₁ ⊥ d₂ ⇔ m₁ × m₂ = -1

Cazuri speciale:

• O dreaptă orizontală (m=0) este perpendiculară pe o dreaptă verticală (m=∞)
• Dacă d₁: x = a (verticală) și d₂: y = b (orizontală), atunci d₁ ⊥ d₂

Exemple din viața reală:

• Coltul unei camere (perete ⊥ podea)
• Liniile unei foi de matematică
• Brațele unui plus (+)
• Axele de coordonate OX și OY

4. Proprietăți Fundamentale ale Dreptelor Perpendiculare

1. Unicitatea perpendicularei:

Printr-un punct dat există o singură perpendiculară pe o dreaptă dată.

P ∈ plan
∃! d' ∋ P și d' ⊥ d

2. Simetria:

Dacă d₁ ⊥ d₂, atunci d₂ ⊥ d₁

3. Nu este tranzitivă!

Dacă d₁ ⊥ d₂ și d₂ ⊥ d₃, NU înseamnă că d₁ ⊥ d₃!

De fapt, dacă d₁ ⊥ d₂ și d₂ ⊥ d₃, atunci d₁ ∥ d₃!

4. Măsura unghiului:

Unghiul dintre două drepte perpendiculare este de 90°.

5. Construcții Geometrice Fundamentale

1. Construcția unei paralele printr-un punct:

Metoda cu compasul și rigla:

1. Fie d dreapta dată și P punctul exterior
2. Alege un punct A pe d
3. Cu compasul, trasezi un arc de cerc cu centrul în A, care intersectează d în B și trece prin P
4. Cu aceeași deschidere, trasezi un arc cu centrul în P
5. Cu compasul, măsorezi distanța BP
6. Cu această deschidere, trasezi un arc cu centrul în punctul obținut la pasul 4
7. Intersecția arcelor determină paralela

2. Construcția unei perpendiculare printr-un punct:

Cazul 1: Punctul este pe dreaptă

1. Fie d dreapta și P ∈ d
2. Cu compasul, trasezi două arce cu aceeași rază, cu centre în P, care intersectează d în A și B
3. Cu compasul deschis mai mult decât jumătatea lui AB, trasezi două arce cu centre în A și B
4. Intersecția arcelor este Q
5. Dreapta PQ este perpendiculara

Cazul 2: Punctul este exterior dreptei

1. Fie d dreapta și P ∉ d
2. Cu compasul, trasezi un arc cu centrul în P, care intersectează d în două puncte A și B
3. Cu compasul, trasezi două arce cu aceeași rază, cu centre în A și B
4. Intersecția arcelor este Q
5. Dreapta PQ este perpendiculara

6. Teoreme și Aplicații Importante

Teorema înălțimii în triunghiul dreptunghic:

Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este medie geometrică între proiecțiile catetelor.

     A
     |\
     | \
     |  \
     |   \
     |    \
    B|____H\C
BH² = AH × HC

Teorema catetei:

Într-un triunghi dreptunghic, o catetă este medie geometrică între ipotenuză și proiecția acestei catete pe ipotenuză.

AB² = BC × BH
AC² = BC × CH

Teorema lui Thales:

O paralelă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale.

Dacă DE ∥ BC, atunci:
AD/AB = AE/AC = DE/BC

7. Unghiuri cu Laturile Respectiv Paralele sau Perpendiculare

Unghiuri cu laturile respectiv paralele:

Două unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt fie congruente, fie suplementare.

Dacă OA ∥ O'A' și OB ∥ O'B', atunci:
∡AOB = ∡A'O'B' sau ∡AOB + ∡A'O'B' = 180°

Unghiuri cu laturile respectiv perpendiculare:

Două unghiuri cu laturile respectiv perpendiculare sunt fie congruente, fie suplementare.

Dacă OA ⊥ O'A' și OB ⊥ O'B', atunci:
∡AOB = ∡A'O'B' sau ∡AOB + ∡A'O'B' = 180°

8. Paralelism și Perpendicularitate în Spațiu (3D)

În spațiu, lucrurile devin mai interesante!

Drepte în spațiu pot fi:

1. Concurente: se intersectează
2. Paralele: sunt coplanare și nu se intersectează
3. Nici concurente, nici paralele (necoplanare): nu sunt în același plan

Perpendicularitate în spațiu:

O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe toate dreptele din plan care trec prin punctul de intersecție.

Planul perpendicular pe o dreaptă:

Un plan este perpendicular pe o dreaptă dacă conține toate dreptele perpendiculare pe dreapta dată într-un punct.

9. Aplicații Practice – Geometrie în Lumea Reală

În arhitectură și construcții:

• Perpendiculare: Pereții sunt perpendiculari pe podea, ferestrele sunt perpendiculare pe pereți
• Paralele: Grinzile de tavan sunt paralele, plăcile de gips sunt așezate paralel

În design și artă:

• Perpendiculare: Crează stabilitate și echilibru (ca în cruce)
• Paralele: Crează ritm și ordine (ca în dungi)

În tehnologie:

• Perpendiculare: Componentele electronice sunt montate perpendicular
• Paralele: Circuitele pe plăcile de circuit sunt paralele

În navigație:

• Paralelele de latitudine
• Meridianele de longitudine sunt perpendiculare pe ecuator

În sport:

• Liniile terenurilor de sport sunt paralele și perpendiculare
• Traiectoriile pot fi paralele sau perpendiculare

10. Probleme Rezolvate Pas cu Pas

Problema 1: Fie dreptele d₁: y = 2x + 3 și d₂: y = 2x – 5. Sunt ele paralele?

Rezolvare:

m₁ = 2, m₂ = 2
m₁ = m₂ = 2 → dreptele sunt paralele ✓

Problema 2: Fie dreptele d₁: y = 3x + 2 și d₂: y = -1/3 x + 4. Sunt ele perpendiculare?

Rezolvare:

m₁ = 3, m₂ = -1/3
m₁ × m₂ = 3 × (-1/3) = -1 → dreptele sunt perpendiculare ✓

Problema 3: În triunghiul ABC, punctele M ∈ AB și N ∈ AC astfel încât MN ∥ BC. Dacă AM = 4 cm, MB = 6 cm și MN = 5 cm, află BC.

Rezolvare:

Conform teoremei lui Thales:
AM/AB = MN/BC
4/(4+6) = 5/BC
4/10 = 5/BC
2/5 = 5/BC
2BC = 25
BC = 12.5 cm

Problema 4: Construiește perpendiculara din punctul A pe dreapta d, unde A ∉ d.

Rezolvare (metoda practică):

1. Cu compasul, fac un arc cu centrul în A care taie d în două puncte B și C
2. Cu compasul, fac două arce cu aceeași rază, cu centre în B și C
3. Intersecția arcelor este D
4. Dreapta AD este perpendiculara căutată

11. Metode de Demonstrare a Paralelismului și Perpendicularității

Pentru a demonstra că două drepte sunt paralele, putem arăta că:

1. Au aceeași pantă (în coordonate)
2. Formează cu o secantă unghiuri alterne interne congruente
3. Formează cu o secantă unghiuri corespondente congruente
4. Sunt ambele perpendiculare pe aceeași dreaptă
5. Sunt paralele cu aceeași dreaptă

Pentru a demonstra că două drepte sunt perpendiculare, putem arăta că:

1. Produsul pantelor este -1 (în coordonate)
2. Formează un unghi de 90°
3. Una este bisectoarea unghiului alungit format de cealaltă
4. Sunt laturile unui unghi drept

12. Capcane și Greșeli Frecvente

Capcana 1: “Paralele înseamnă egale”

GREȘIT: Dacă d₁ ∥ d₂, atunci d₁ = d₂ ✗
CORECT: Drepte paralele sunt distincte, nu coincid ✓

Capcana 2: Perpendicularitatea nu este tranzitivă

GREȘIT: Dacă d₁ ⊥ d₂ și d₂ ⊥ d₃, atunci d₁ ⊥ d₃ ✗
CORECT: Dacă d₁ ⊥ d₂ și d₂ ⊥ d₃, atunci d₁ ∥ d₃ ✓

Capcana 3: “Aceeași direcție” nu înseamnă neapărat paralelism

În spațiu, două drepte pot avea aceeași direcție fără să fie paralele (dacă nu sunt coplanare).

Capcana 4: Confuzia între segmente paralele și drepte paralele

Segmentele pot fi paralele doar dacă dreptele care le conțin sunt paralele

Capcana 5: “Formează un unghi drept” vs “sunt perpendiculare”

Două segmente pot forma un unghi drept fără ca dreptele care le conțin să fie perpendiculare (dacă segmentele nu sunt pe aceleași drepte).

13. Exerciții Practice

Nivel ușor:

1. Dreptele d₁: y = 4x – 1 și d₂: y = 4x + 3 sunt paralele? (Da)
2. Dreptele d₁: y = 2x + 5 și d₂: y = -0.5x – 3 sunt perpendiculare? (Da)

Nivel mediu:

1. Construiește paralela prin punctul P la dreapta d
2. Construiește perpendiculara din punctul A pe dreapta d, unde A ∈ d

Nivel avansat:

1. Demonstrează că înălțimile unui triunghi sunt concurente
2. În triunghiul ABC, D ∈ AB, E ∈ AC cu DE ∥ BC. Dacă AD = 3, DB = 6, AE = 4, află EC. (EC = 8)

Concluzie: Să-ți spun ceva direct

Paralelismul și perpendicularitatea nu sunt doar noțiuni geometrice abstracte. Sunt principiile de bază ale ordinii și structurii în spațiu. Ele definesc cum se organizează lumea construită în jurul nostru, de la cea mai simplă casă până la cel mai complex pod.

Cele mai multe greșeli vin din înțelegerea incompletă a acestor concepte sau din confuzia între proprietățile lor (mai ales că perpendicularitatea nu este tranzitivă!).

Așa că ia o foaie și:

1. Desenează o dreaptă d și un punct P exterior
2. Construiește paralela prin P la d
3. Construiește perpendiculara din P pe d
4. Măsoară unghiul dintre cele două drepte construite (ar trebui să fie 90°)

Pentru că puterea adevărată a acestor concepte nu este în definițiile lor formale, ci în capacitatea lor de a organiza și structura spațiul. O dată ce înțelegi că tot ceea ce este drept, ordonat, stabil în lumea din jur se bazează pe paralelism și perpendicularitate, geometria devine cheia înțelegerii construcției lumii.

Sfat de final: Antrenează-ți ochiul să vadă paralelismul și perpendicularitatea în jurul tău. În fiecare cameră, în fiecare clădire, în fiecare obiect. Transformă-ți percepția spațiului, și vei vedea geometria vie în acțiune. Și nu upta: în spațiu, lucrurile sunt și mai interesante – două drepte pot să nu fie nici concurente, nici paralele!

Bun, hai să vorbim despre cele mai fundamentale concepte din toată geometria. Acestea sunt “atomi” geometrici, cele mai simple elemente din care se construiește întreaga geometrie. Nu sunt doar niște noțiuni abstracte. Sunt baza pe care stă toată matematica spațială, arhitectura, designul, și chiar modul în care vedem lumea în jur. E un set de concepte atât de fundamental încât, dacă le înțelegi, poți să construiești orice.

1. Punctul – Atomul Geometric

Gândește-te la el ca la o locație exactă în spațiu, fără dimensiuni, fără mărime, doar o poziție.

Definiție intuitivă: O locație exactă în spațiu, fără dimensiuni (nu are lungime, lățime, înălțime).

Proprietăți:

• Nu are dimensiuni (0-dimensional)
• Nu se poate măsura (nu are lungime, arie, volum)
• Se notează cu litere mari: A, B, C, P, Q…
• În desen, îl reprezentăm cu un mic punct sau cu o cruce

Notație: A, B, C (pentru puncte particulare)

Analogie din viața reală:

• O locație GPS exactă
• Un oraș pe hartă (deși orașul are dimensiuni, punctul care-l reprezintă nu are)
• Un ac care atinge hârtia

Axioma fundamentală: Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.

Ce NU este un punct geometric:

• Un cerc mic (are dimensiuni)
• O pată (are arie)
• O bilă microscopică (are volum)

2. Dreapta – Linia Infinită

Gândește-te la ea ca la o linie perfect dreaptă care se întinde la infinit în ambele sensuri.

Definiție intuitivă: O mulțime infinită de puncte aliniate, care se întinde la infinit în ambele sensuri.

Proprietăți:

• Are o singură dimensiune: lungimea (dar infinită)
• Nu are grosime
• Este infinită în ambele sensuri
• Conține infinit de puncte

Notație:

• Cu litere mici: d, d₁, AB (dreapta care trece prin A și B)
• Simbolic: AB (dreapta determinată de punctele A și B)

Elemente ale unei drepte:

• Puncte de pe dreaptă: A, B, C sunt pe dreapta d dacă dreapta trece prin ele
• Semi-dreaptă: O porțiune infinită a unei drepte, mărginită la un capăt
• Segment: Porțiunea finită a unei drepte

Tipuri de drepte:

• Drepte concurente: Se intersectează într-un punct
• Drepte paralele: Nu se intersectează niciodată, sunt mereu la aceeași distanță
• Drepte perpendiculare: Se intersectează formând unghiuri de 90°

Reprezentare grafică:

Infinit spre dreapta ← •———•———•———•———• → Infinit spre stânga
                      A   B   C   D   E

Axiome importante:

1. Prin două puncte distincte trece o singură dreaptă.
2. Două drepte distincte au cel mult un punct comun.
3. Dacă o dreaptă intersectează una din două drepte paralele, o intersectează și pe cealaltă.

3. Segmentul de Dreaptă – Porțiunea Finită

Gândește-te la el ca la o bucată dintr-o dreaptă, cu capete precise.

Definiție: Porțiunea de dreaptă cuprinsă între două puncte numite capete.

Proprietăți:

• Are lungime finită (se poate măsura)
• Are două capete (puncte)
• Este cea mai scurtă cale între două puncte

Notație: AB sau [AB] (segmentul cu capetele A și B)

Elemente:

• Capete: A și B
• Lungime: distanța dintre A și B, notată AB sau |AB|
• Mijloc: punctul care împarte segmentul în două părți egale
• Interiorul segmentului: toate punctele dintre A și B (fără capete)

Relații între segmente:

• Segmente congruente: au aceeași lungime (AB ≡ CD)
• Segmente adiacente: au un capăt comun
• Segmente coliniare: sunt pe aceeași dreaptă

Construcții importante:

• Mijlocul unui segment: punctul care împarte segmentul în două părți egale
• Simetricul unui punct față de alt punct: punctul aflat la aceeași distanță, pe prelungirea segmentului

Exemplu practic: Dacă A și B sunt două orașe pe hartă, segmentul AB reprezintă drumul drept între ele.

4. Unghiul – Spațiul dintre Două Direcții

Gândește-te la el ca la “cât de mult trebuie să întorci” o direcție pentru a ajunge la alta.

Definiție intuitivă: Figura geometrică formată din două semidrepte care au aceeași origine.

Elementele unui unghi:

• Vârful: punctul comun al celor două semidrepte (O)
• Laturile: cele două semidrepte (OA și OB)
• Interiorul unghiului: spațiul dintre laturi
• Exteriorul unghiului: restul planului

Notație:

• ∠AOB (unghiul cu vârful în O și laturile OA și OB)
• ∡AOB (mai des folosit)
• Uneori cu litere grecești: α, β, γ, θ

Clasificarea unghiurilor după măsură:

1. Unghi nul: 0°

Cele două laturi se suprapun perfect.

OA————OB (aceeași direcție)

2. Unghi ascuțit: între 0° și 90°

    B
    /
   /
  / ) α
O/______A

3. Unghi drept: exact 90°

Cel mai important! Folosește simbolul ∟.

    B
    |
    | 
    |
O———A

4. Unghi obtuz: între 90° și 180°

     B
    /
   /
  /
O/________A

5. Unghi alungit (ras): exact 180°

Cele două laturi formează o linie dreaptă.

O————A————B

6. Unghi reflex: între 180° și 360°

     B
    /
   /
  /
O/________A
  \       
   \      
    \     
     C (imaginează-ți că B e în partea cealaltă)

7. Unghi complet: 360°

Întregul cerc în jurul punctului.

5. Relații între Unghiuri

Unghiuri complementare: Suma lor este 90°

α + β = 90°
Exemplu: 30° și 60° sunt complementare.

Unghiuri suplementare: Suma lor este 180°

α + β = 180°
Exemplu: 70° și 110° sunt suplementare.

Unghiuri adiacente: Au vârful și o latură comună

   C
    \
     \
      \ 
       O———A
        \
         \
          B
∡AOB și ∡BOC sunt adiacente.

Unghiuri opuse la vârf: Sunt egale și formate de două drepte care se intersectează

     C
      \
       \
A————O————B
         /
        /
       D
∡AOC = ∡BOD și ∡AOD = ∡BOC

Unghiuri alterne interne/externe: La drepte paralele tăiate de o secantă, sunt egale

   ∡1 = ∡5, ∡2 = ∡6, etc.
   (în diagrama cu drepte paralele și o secantă)

6. Măsurarea Unghiurilor

Sistemul sexagesimal (grade):

• 1° (grad) = 60′ (minute)
• 1′ = 60″ (secunde)
• Cerc complet = 360°

Sistemul radian:

• Cerc complet = 2π radiani
• 180° = π radiani
• 1 radian ≈ 57.3°

Conversii importante:

De la grade la radiani: înmulțim cu π/180
De la radiani la grade: înmulțim cu 180/π

7. Instrumente de Lucru în Geometrie

Rigla: Pentru trasarea dreptelor și măsurarea segmentelor

• Nu are diviziuni sau are în cm/mm
• Folosită cu creionul, nu cu stiloul (ca să poți șterge)

Compasul: Pentru trasarea cercurilor și copierea segmentelor

• Păstrează deschiderea constantă
• Folosit pentru construcții geometrice precise

Echerul: Pentru unghiuri drepte și paralele

• Are un unghi de 90° (și de multe ori 30°, 60°, 45°)
• Folosit pentru verificarea perpendicularității

Raportorul: Pentru măsurarea și construcția unghiurilor

• Semicerc sau cerc gradat
• Măsoară de la 0° la 180° sau 360°

8. Construcții Geometrice Fundamentale

1. Trasarea unei drepte prin două puncte:

• Așezi rigla să treacă prin ambele puncte
• Trasezi linia cu creionul

2. Construcția unui segment congruent cu un segment dat:

• Măsori segmentul cu compasul
• Trasezi un nou segment cu aceeași deschidere a compasului

3. Construcția mijlocului unui segment:

• Cu compasul, trasezi două arce de cerc cu aceeași rază din capete
• Intersecția arcelor determină o perpendiculară
• Intersecția cu segmentul este mijlocul

4. Construcția unui unghi congruent cu un unghi dat:

• Copiezi un arc de cerc din unghiul dat
• Reproduci arcul în noua poziție

5. Construcția bisectoarei unui unghi:

• Cu compasul, trasezi un arc care intersectează ambele laturi
• Din punctele de intersecție, trasezi două arce cu aceeași rază
• Linia de la vârf la intersecția arcelor este bisectoarea

9. Aplicații Practice – Geometrie în Lumea Reală

În arhitectură și construcții:

• Punctele reprezintă colțurile clădirilor
• Dreptele și segmentele reprezintă pereții
• Unghiurile drepte sunt esențiale pentru stabilitate

În navigație:

• Punctele sunt locații pe hartă
• Segmentele sunt rute
• Unghiurile sunt direcții (azimuturi)

În sport:

• Terenurile de sport sunt definite prin puncte și linii
• Unghiurile de lovire a mingii
• Traiectoriile sunt segmente sau curbe

În tehnologie:

• Grafica pe computer se bazează pe puncte și linii
• Designul de produse folosește geometrie
• GPS-ul folosește puncte și distanțe

În viața de zi cu zi:

• Așezarea mobilierului în cameră
• Tăierea pânzelor la dimensiuni
• Plantarea grădinii în linii drepte

10. Probleme Rezolvate Pas cu Pas

Problema 1: Fie segmentul AB cu lungimea 12 cm. Punctul M este mijlocul lui AB, iar N este mijlocul lui MB. Care este lungimea lui AN?

Rezolvare:

AB = 12 cm
M mijlocul lui AB → AM = MB = 6 cm
N mijlocul lui MB → MN = NB = 3 cm
AN = AM + MN = 6 + 3 = 9 cm

Problema 2: Unghiurile ∡AOB și ∡BOC sunt adiacente. Dacă ∡AOB = 60° și ∡AOC = 100°, află ∡BOC.

Rezolvare:

∡AOC = ∡AOB + ∡BOC
100° = 60° + ∡BOC
∡BOC = 100° - 60° = 40°

Problema 3: Două unghiuri sunt suplementare. Unul este de 3 ori mai mare decât celălalt. Află măsurile lor.

Rezolvare:

Fie x = măsura unghiului mai mic
Atunci 3x = măsura unghiului mai mare
x + 3x = 180°
4x = 180°
x = 45° (unghiul mic)
3x = 135° (unghiul mare)

11. Capcane și Greșeli Frecvente

Capcana 1: Confuzia între segment, semidreaptă și dreaptă

Segment [AB]: de la A la B (finit)
Semidreaptă [AB: de la A prin B la infinit
Dreaptă AB: infinită în ambele sensuri

Capcana 2: Unghiul nu este spațiul dintre două segmente, ci între două semidrepte

GREȘIT: Unghiul dintre segmentele AB și BC ✗
CORECT: Unghiul dintre semidreptele BA și BC ✓

Capcana 3: Două drepte paralele nu sunt “la fel”

Sunt distincte, doar nu se întâlnesc
Au aceeași direcție, dar sunt în poziții diferite

Capcana 4: Unghiul de 0° nu este același cu “niciun unghi”

Este un unghi valid, cu laturile suprapuse

Capcana 5: Mijlocul unui segment nu este doar “aproape la mijloc”

Este punctul EXACT care împarte segmentul în două părți egale

12. Exerciții Practice

1. Desenează un segment AB de 8 cm. Construiește mijlocul său M.
2. Desenează un unghi de 60°. Construiește bisectoarea sa.
3. Pe o dreaptă d, marchează punctele A, B, C în această ordine. Dacă AB = 5 cm și BC = 7 cm, care este AC?
4. Două unghiuri complementare au raportul 2:3. Care sunt măsurile lor?

Răspunsuri:

1. M la 4 cm de fiecare capăt
2. Bisectoarea împarte unghiul de 60° în două de 30°
3. AC = AB + BC = 5 + 7 = 12 cm
4. 2x + 3x = 90° → 5x = 90° → x = 18° → unghiurile: 36° și 54°

Concluzie: Să-ți spun ceva direct

Punctul, dreapta, segmentul și unghiul nu sunt doar noțiuni abstracte din manuale. Sunt alfabetul cu care scriem geometria, limbajul în care descriem spațiul din jurul nostru.

Cele mai multe greșeli vin din confuzia între aceste noțiuni fundamentale sau din aplicarea incorectă a proprietăților lor.

Așa că ia o foaie și:

1. Desenează două puncte A și B la 6 cm distanță
2. Trasează dreapta AB
3. Marchează segmentul AB
4. Alege un punct O pe dreaptă și construiește un unghi de 45° cu una din semidrepte

Pentru că puterea adevărată a acestor concepte nu este în definițiile lor abstracte, ci în capacitatea lor de a descrie și construi lumea reală. O dată ce înțelegi că totul în jurul tău – de la ecranul telefonului la clădirea în care locuiești – este construit din puncte, linii și unghiuri, geometria devine o parte viu a realității.

Sfat de final: Învață să “vorbești” geometria. Când vezi o clădire, spune “peretele AC este perpendicular pe podeaua AB”. Când aranjezi mobilierul, gândește-te la segmente și unghiuri. Transformă-ți perspectiva asupra spațiului, și geometria va deveni nu o materie de școală, ci o modalitate de a vedea lumea.

Bun, hai să vorbim despre unul dintre cele mai importante și frumoase concepte din toată matematica. Funcțiile. Nu sunt doar niște formule abstracte. Sunt mașinii matematice care transformă intrări în ieșiri, reguli care asociază fiecărui număr un alt număr, modul în care descriem relații între mărimi. E un concept atât de fundamental încât, odată ce-l înțelegi, vezi funcții peste tot în jurul tău.

1. Ce e o Funcție? (Spoiler: Nu e Doar f(x))

Gândește-te la ea ca la o mașinărie magică. Introduci un număr, și ea îți dă înapoi alt număr după o regulă bine stabilită.

Definiția oficială: O funcție f de la o mulțime A la o mulțime B este o corespondență care asociază fiecărui element x ∈ A un unic element y ∈ B.
Traducerea umană: Pentru fiecare “intrare” x, există exact o “ieșire” y.

Notație: f: A → B sau y = f(x)

Terminologie:

• A = domeniul de definiție (mulțimea valorilor pe care le poți pune în funcție)
• B = codomeniul (mulțimea valorilor pe care le poți obține din funcție)
• x = variabilă independentă (argumentul funcției)
• y sau f(x) = variabilă dependentă (valoarea funcției)
• f = numele funcției

Analogie din viața reală:

• Mașina de cafea: cafea măcinată + apă → cafea
• Calculatorul: 2 + 2 → 4
• Convertorul valutar: 100 EUR → 500 RON (la cursul zilei)

2. Când O Corespondență Este O Funcție? – Testul Liniei Verticale

Regula fundamentală: Fiecărui x îi corespunde exact UN SINGUR y.

Testul liniei verticale: Dacă trasezi o linie verticală prin grafic și ea intersectează graficul în mai mult de un punct, atunci NU e funcție.

Exemple:

y = x²      ✓ Este funcție - fiecărui x îi corespunde exact un y
x = y²      ✗ NU este funcție - pentru x=4, y poate fi 2 sau -2

Reprezentare schematică:

Funcție corectă:     Nu este funcție:
   x₁ → y₁              x₁ → y₁
   x₂ → y₂                    ↘
   x₃ → y₃              x₂ → y₂
                           ↗

3. Cum Descriem o Funcție? – Cele 4 Moduri

1. Prin formulă (analitic)

Cea mai comună metodă.

f(x) = 2x + 3
g(x) = x² - 4
h(x) = √(x-1)

2. Prin tabel de valori

Perfect pentru funcții discrete sau date experimentale.

x | 1 | 2 | 3 | 4
f(x) | 5 | 7 | 9 | 11

3. Prin diagramă cu săgeți

Foarte clară pentru funcții cu domeniu finit.

  1  →  4
  2  →  5
  3  →  6
  4  →  7

4. Prin grafic

Cea mai vizuală reprezentare – vom vorbi mai multe despre asta!

4. Graficul unei Funcții – Imaginea Vizuală

Definiție: Graficul funcției f: A → B este mulțimea punctelor (x, f(x)) unde x ∈ A.

În coordonate carteziene: Mulțimea punctelor (x, y) din plan cu y = f(x).

Cum construiești un grafic:

1. Alegi valori pentru x
2. Calculezi f(x) pentru fiecare x
3. Plotezi punctele (x, f(x))
4. Conectezi punctele (dacă are sens)

Exemplu: Pentru f(x) = 2x + 1

x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2
f(x) | -3 | -1 | 1 | 3 | 5
Puncte: (-2,-3), (-1,-1), (0,1), (1,3), (2,5)

5. Funcții Elementare – Cele Pe Care Le Vei Întâlni Mereu

1. Funcția constantă: f(x) = c

Graficul: O linie orizontală la înălțimea c.

Exemplu: f(x) = 3

2. Funcția liniară: f(x) = ax + b

Graficul: O dreaptă cu pantă a.

Exemplu: f(x) = 2x + 1

3. Funcția pătratică: f(x) = ax² + bx + c

Graficul: O parabolă.

Exemplu: f(x) = x²

4. Funcția de gradul 3: f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Graficul: O curbă cubică.

Exemplu: f(x) = x³

5. Funcția radical: f(x) = √x

Graficul: Jumătate de parabolă întinsă pe orizontală.

Exemplu: f(x) = √x (pentru x ≥ 0)

6. Funcția modul: f(x) = |x|

Graficul: Un “V” cu vârful în (0,0).

Exemplu: f(x) = |x|

6. Proprietăți ale Funcțiilor – Cum Le Descriem

1. Domeniul de definiție (Dₓ)

Mulțimea valorilor lui x pentru care funcția are sens.

Cum găsim domeniul:

• Eliminăm valorile care fac numitorul = 0
• Eliminăm valorile care fac radicalul de ordin par negativ
• Considerăm restricțiile din contextul problemei

Exemple:

f(x) = 1/(x-2)    → Dₓ = ℝ \ {2}  (toate numerele reale în afară de 2)
g(x) = √(x+3)     → Dₓ = [-3, ∞)  (x+3 ≥ 0 → x ≥ -3)
h(x) = √(4-x²)    → Dₓ = [-2, 2]  (4-x² ≥ 0 → -2 ≤ x ≤ 2)

2. Codomeniul

Mulțimea valorilor pe care le poate lua funcția.

3. Imaginea funcției (mulțimea valorilor)

Valorile efectiv luate de funcție.

Pentru f(x) = x²: imaginea = [0, ∞)
Pentru g(x) = 2x+1: imaginea = ℝ

4. Zerourile funcției (rădăcinile)

Valorile lui x pentru care f(x) = 0.

Pentru f(x) = x² - 4: zerourile sunt x = -2 și x = 2

7. Graficul – Cum “Citim” O Funcție Din Grafic

Intersecția cu axa OX: Punctele unde graficul taie axa OX → f(x) = 0

Intersecția cu axa OY: Punctul unde graficul taie axa OY → f(0)

Monotonia:

• Crescătoare: când x crește, f(x) crește
• Descrescătoare: când x crește, f(x) scade
• Constantă: f(x) nu se schimbă

Puncte de extrem:

• Maxim local: punctul cel mai înalt dintr-o vecinătate
• Minim local: punctul cel mai jos dintr-o vecinătate

Paritatea:

• Funcție pară: f(-x) = f(x) → simetrică față de OY
• Funcție impară: f(-x) = -f(x) → simetrică față de origine
• Nici pară, nici impară: cele mai multe funcții

8. Operații cu Funcții – Cum Combinăm Funcții

1. Adunarea: (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Exemplu: f(x)=x, g(x)=2 → (f+g)(x)=x+2

2. Scăderea: (f – g)(x) = f(x) – g(x)

Exemplu: f(x)=x², g(x)=x → (f-g)(x)=x²-x

3. Înmulțirea: (f·g)(x) = f(x)·g(x)

Exemplu: f(x)=x, g(x)=x+1 → (f·g)(x)=x(x+1)=x²+x

4. Împărțirea: (f/g)(x) = f(x)/g(x), cu g(x) ≠ 0

Exemplu: f(x)=x², g(x)=x → (f/g)(x)=x²/x=x (pentru x≠0)

5. Compunerea: (f∘g)(x) = f(g(x))

Atenție la ordine! f∘g ≠ g∘f în general.

Exemplu: f(x)=x+2, g(x)=3x
f∘g: f(g(x)) = f(3x) = 3x + 2
g∘f: g(f(x)) = g(x+2) = 3(x+2) = 3x + 6

9. Funcții Speciale – Când Formulele Devin Interesante

Funcția parte întreagă: f(x) = [x]

Returnează cel mai mare întreg ≤ x.

[2.7] = 2, [3] = 3, [-1.2] = -2
Graficul: "scări" orizontale

Funcția semn: f(x) = sgn(x)

sgn(x) = { 1 dacă x > 0
           0 dacă x = 0
          -1 dacă x < 0 }

Funcția Dirichlet:

f(x) = { 1 dacă x ∈ ℚ
         0 dacă x ∉ ℚ }
Imposibil de reprezentat grafic complet!

10. Aplicații Practice – Unde Întâlnești Funcții

1. În fizică:

• Distanța în funcție de timp: d(t) = v·t
• Viteza în funcție de timp: v(t) = a·t + v₀
• Energia cinetică: E(v) = ½mv²

2. În economie:

• Costul în funcție de producție
• Venitul în funcție de preț
• Cererea în funcție de preț

3. În viața de zi cu zi:

• Conversia temperaturii: °F = (9/5)°C + 32
• Calculul TVA: preț final = preț × 1.19
• Consumul de carburant: litri = km / (consum la 100km)

4. În tehnologie:

• Compresia imaginilor
• Criptarea datelor
• Algoritmi de căutare

11. Probleme Rezolvate Pas cu Pas

Problema 1: Determină domeniul pentru f(x) = √(x-4) + 1/(x+2)

Rezolvare:

1. Din radical: x-4 ≥ 0 → x ≥ 4
2. Din numitor: x+2 ≠ 0 → x ≠ -2
3. Intersecția: x ≥ 4 (condiția -2 e automat satisfăcută)
Dₓ = [4, ∞)

Problema 2: Fie f(x) = 2x-3. Calculează f(2), f(0), f(-1)

Rezolvare:

f(2) = 2·2 - 3 = 4 - 3 = 1
f(0) = 2·0 - 3 = 0 - 3 = -3
f(-1) = 2·(-1) - 3 = -2 - 3 = -5

Problema 3: Pentru f(x) = x²-4 și g(x) = x+2, calculează f∘g și g∘f

Rezolvare:

f∘g: f(g(x)) = f(x+2) = (x+2)² - 4 = x² + 4x + 4 - 4 = x² + 4x
g∘f: g(f(x)) = g(x²-4) = (x²-4) + 2 = x² - 2

12. Cum Recunoști Tipul de Funcție din Grafic

Dreaptă → funcție liniară sau constantă

Parabolă → funcție pătratică

Curbă în formă de S → funcție cubică

Jumătate de parabolă orizontală → funcție radical

Linie în formă de V → funcție modul

“Scări” orizontale → funcție parte întreagă

13. Capcane și Greșeli Frecvente

Capcana 1: f(x) = √x are domeniul [0,∞), nu ℝ

GREȘIT: f(-4) = √(-4) = ? ✗
CORECT: √(-4) nu are sens în ℝ ✓

Capcana 2: f(x) = 1/x are domeniul ℝ \ {0}

GREȘIT: f(0) = 1/0 = ∞ ✗
CORECT: f(0) nu este definit ✓

Capcana 3: f∘g ≠ g∘f în general

f(x)=x+1, g(x)=2x
f∘g = 2x+1, g∘f = 2x+2 (diferite!)

Capcana 4: (f+g)(x) ≠ f(x) + g simplu

Corect: (f+g)(x) = f(x) + g(x)

Capcana 5: Graficul nu este doar punctele, ci și cum sunt conectate

Pentru f(x)=1/x: graficul are două ramuri, nu doar puncte izolate!

Concluzie: Să-ți spun ceva direct

Funcțiile nu sunt doar o parte a programei de matematică. Sunt limbajul în care vorbesc știința, tehnologia, economia. Ele descriu cum se schimbă lucrurile, cum depind unele de altele, cum se transformă intrări în ieșiri.

Cele mai multe greșeli vin din neglijarea domeniului de definiție sau din confuzia între diferitele moduri de a reprezenta o funcție (formulă vs grafic vs tabel).

Așa că ia o foaie și:

1. Desenează graficele pentru: f(x)=2x+1, g(x)=x², h(x)=|x|
2. Determină domeniul pentru: f(x)=1/(x-3), g(x)=√(x+5)
3. Pentru f(x)=x² și g(x)=x-1, calculează: f(3), g(2), f∘g(1)

Verifică-ți răspunsurile:

1. Grafic: dreaptă, parabolă, V
2. Dₓ: ℝ{3}, [-5,∞)
3. f(3)=9, g(2)=1, f∘g(1)=f(0)=0

Pentru că puterea adevărată a funcțiilor nu este în calcularea lor mecanică, ci în înțelegerea că ele modelează lumea din jurul nostru. O dată ce vezi că temperatura, viteza, prețurile, creșterea populației sunt toate funcții, matematica devine o unealtă pentru a înțelege realitatea.

Sfat de final: Încearcă întotdeauna să vizualizezi funcția. Chiar dacă ai doar formula, gândește-te cum ar arăta graficul. Este o dreaptă? O parabolă? Ce formă are? Această conexiune între formulă și imagine vizuală este cheia înțelegerii adevărate a funcțiilor.

Bun, hai să vorbim despre un subiect care de multe ori pare complicat, dar care e de fapt incredibil de elegant și util. Sistemele de ecuații. Nu sunt doar niște exerciții abstracte cu x și y. Sunt modalitatea matematică de a găsi punctul de întâlnire, de a rezolva probleme cu două variabile interdependente, de a găsi soluții comune pentru două condiții. E un concept atât de frumos încât, odată ce îl înțelegi, vezi geometria în spatele algebrei.

1. Ce e un Sistem de Ecuații? (Spoiler: Nu e Doar Două Ecuații la Un Loc)

Gândește-te la el ca la o căutare a punctului care satisface două condiții simultan. Ca atunci când spui “vreau un număr care e și mai mare decât 3, și mai mic decât 7”.

Definiția oficială: Un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute are forma:

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

unde a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ sunt numere reale.

Traducerea umană: Căutăm o pereche (x, y) care să satisfacă AMBELE ecuații în același timp.

Exemplu clasic:

x + y = 10
x - y = 2

Căutăm două numere care adunate dau 10 și scăzute dau 2.

2. Interpretarea Geometrică – Cea Mai Frumoasă Perspectivă

Fiecare ecuație reprezintă o dreaptă în plan!

Ecuația: ax + by = c → dreaptă în planul xOy

Sistemul:

a₁x + b₁y = c₁  → dreapta d₁
a₂x + b₂y = c₂  → dreapta d₂

Soluția sistemului = Punctul de intersecție al celor două drepte!

Trei posibilități:

1. Drepte concurente (se intersectează într-un singur punct) → Soluție unică
2. Drepte paralele (nu se intersectează niciodată) → Nicio soluție
3. Drepte coincidente (sunt aceeași dreaptă) → Infinit de soluții

3. Metoda Substituției – Când Exprimi și Înlocuiești

Principiu: Exprimi o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă.

Exemplu:

x + y = 10   (1)
x - y = 2    (2)

Pași:

1. Din ecuația (1): x = 10 – y
2. Înlocuim în ecuația (2): (10 – y) – y = 2
3. Rezolvăm: 10 – 2y = 2 → -2y = 2 – 10 → -2y = -8 → y = 4
4. Calculăm x: x = 10 – 4 = 6
5. Verificare: 6 + 4 = 10 ✓, 6 – 4 = 2 ✓

Soluția: (6, 4) sau x=6, y=4

Când e bună metoda substituției?

• Când o ecuație are coeficientul 1 la una dintre necunoscute
• Când poți exprima ușor o necunoscută

4. Metoda Reducerii (Sau a Eliminării) – Când Aduni sau Scazi

Principiu: Înmulțești ecuațiile cu numere potrivite, apoi le aduni sau le scazi pentru a elimina o necunoscută.

Exemplu 1 (eliminare directă):

x + y = 10
x - y = 2
------------ (+)
2x = 12 → x = 6
Înlocuim x=6 în prima: 6 + y = 10 → y = 4

Exemplu 2 (necesită înmulțire prealabilă):

2x + 3y = 8   (1)
3x + 2y = 7   (2)

Vrem să eliminăm x. Înmulțim:

• Ecuația (1) cu 3: 6x + 9y = 24
• Ecuația (2) cu 2: 6x + 4y = 14

6x + 9y = 24
6x + 4y = 14
------------ (-)
5y = 10 → y = 2
Înlocuim y=2 în (1): 2x + 6 = 8 → 2x = 2 → x = 1

Când e bună metoda reducerii?

• Când coeficienții sunt “prietenoși” pentru eliminare
• Când nu poți exprima ușor o necunoscută

5. Metoda Cramer (cu Determinanti) – Cea Mai Elegantă

Pentru sistemul:

a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂

Calculăm determinanții:

Δ = |a₁ b₁| = a₁b₂ - a₂b₁
    |a₂ b₂|

Δx = |c₁ b₁| = c₁b₂ - c₂b₁
     |c₂ b₂|

Δy = |a₁ c₁| = a₁c₂ - a₂c₁
     |a₂ c₂|

Soluțiile:

• Dacă Δ ≠ 0 → sistem compatibil determinat (soluție unică)

  x = Δx/Δ
  y = Δy/Δ

• Dacă Δ = 0 și Δx = Δy = 0 → sistem compatibil nedeterminat (infinit de soluții)
• Dacă Δ = 0 și (Δx ≠ 0 sau Δy ≠ 0) → sistem incompatibil (nicio soluție)

Exemplu:

2x + 3y = 8
 x - 2y = -3

Δ = |2  3| = 2×(-2) - 1×3 = -4 - 3 = -7
    |1 -2|

Δx = |8  3| = 8×(-2) - (-3)×3 = -16 + 9 = -7
     |-3 -2|

Δy = |2  8| = 2×(-3) - 1×8 = -6 - 8 = -14
     |1 -3|

x = Δx/Δ = (-7)/(-7) = 1
y = Δy/Δ = (-14)/(-7) = 2

6. Metoda Grafică – Pentru Cei Vizuali

Pași:

1. Reprezintă grafic fiecare dreaptă
2. Găsește punctul de intersecție
3. Coordonatele punctului sunt soluția

Cum reprezintă o dreaptă:
Pentru ax + by = c:

• Găsește două puncte (de obicei intersecțiile cu axele)
• Trasează dreapta prin ele

Exemplu: Pentru x + y = 4

• Pentru x=0: y=4 → punctul (0,4)
• Pentru y=0: x=4 → punctul (4,0)
• Trasează dreapta prin (0,4) și (4,0)

Limitare: Nu e precisă dacă soluțiile nu sunt numere întregi.

7. Cazuri Speciale – Când Sistemul Se Comportă Neașteptat

Cazul 1: Drepte paralele (nicio soluție)

Exemplu:

2x + 3y = 5
4x + 6y = 10   (observă: a doua ecuație e dublul primei, minus...)
Corect pentru paralele: 4x + 6y = 12 (alt termen liber)

Metoda reducerii: a doua minus dublul primei dă 0 = 2 (contradicție)

Cazul 2: Drepte coincidente (infinit de soluții)

Exemplu:

2x + 3y = 6
4x + 6y = 12   (a doua e exact dublul primei)

Metoda reducerii: a doua minus dublul primei dă 0 = 0 (identitate)

Cazul 3: O necunoscută lipsește

Exemplu:

x = 3
2x + y = 7

Soluție directă: x=3, înlocuim: 6+y=7 → y=1

8. Sisteme cu Parametri – Când Coeficienții Sunt Litere

Exemplu: Pentru ce valori ale lui m sistemul are soluție unică?

(m+1)x + 2y = 3
3x + (m-1)y = 1

Rezolvare: Calculăm Δ și punem condiția Δ ≠ 0

Δ = |m+1   2| = (m+1)(m-1) - 3×2 = m² - 1 - 6 = m² - 7
   | 3   m-1|
Condiția: m² - 7 ≠ 0 → m ≠ ±√7

9. Aplicații Practice – Probleme din Viața Reală

Problema 1: Bănci și Scaune

Într-o sală sunt bănci cu 3 locuri și bănci cu 4 locuri. În total sunt 20 de bănci și 68 de locuri. Câte bănci de fiecare tip sunt?

Rezolvare:

Fie x = numărul de bănci cu 3 locuri
Fie y = numărul de bănci cu 4 locuri

x + y = 20        (total bănci)
3x + 4y = 68      (total locuri)

Metoda reducerii: înmulțim prima cu 3: 3x + 3y = 60
Scădem din a doua: (3x+4y) - (3x+3y) = 68 - 60 → y = 8
x = 20 - 8 = 12

Verificare: 12×3 + 8×4 = 36 + 32 = 68 ✓

Problema 2: Amestecuri

Un amestec de 10 litri conține sirop și apă. Dacă amestecul are 30% sirop, iar altul de 5 litri are 40% sirop, ce cantități trebuie amestecate pentru a obține 15 litri cu 35% sirop?

Rezolvare:

Fie x = litri din primul amestec (30%)
Fie y = litri din al doilea amestec (40%)

x + y = 15          (total litri)
0.30x + 0.40y = 0.35×15 = 5.25   (total sirop)

Rezolvăm: 
x = 15 - y
0.30(15-y) + 0.40y = 5.25
4.5 - 0.30y + 0.40y = 5.25
0.10y = 0.75
y = 7.5 litri
x = 7.5 litri

Problema 3: Vârste

Tatăl are acum dublul vârstei fiului. Peste 10 ani, va avea cu 25 de ani mai mult decât fiul. Ce vârstă au?

Rezolvare:

Fie x = vârsta tatălui acum
Fie y = vârsta fiului acum

x = 2y             (1)
x + 10 = (y + 10) + 25   (2)

Din (2): x + 10 = y + 35 → x = y + 25
Dar din (1): x = 2y
Egalăm: 2y = y + 25 → y = 25
x = 50

Verificare peste 10 ani: tată 60, fiu 35, diferența 25 ✓

10. Sisteme de Ecuații cu O Singură Necunoscută

Da, acestea există și sunt mai simple!

Forma generală:

a₁x = b₁
a₂x = b₂

Ce căutăm: O valoare a lui x care să satisfacă AMBELE ecuații.

Exemplu:

3x = 12
5x = 20

Rezolvare: Din prima: x = 4, verificăm în a doua: 5×4 = 20 ✓

Cazuri:

1. Soluție unică: când x găsit din prima ecuație verifică și a doua
2. Nicio soluție: când x găsit din prima NU verifică a doua
3. Infinit de soluții: doar dacă ecuațiile sunt identice (ceea ce e trivial)

Exemplu fără soluție:

2x = 6  → x = 3
3x = 10 → x = 10/3
Contradicție: nu există un x care să fie simultan 3 și 10/3

11. Strategii de Rezolvare – Cum Alegi Metoda?

Metoda 1: Substituția

Alege când:

• O ecuație are coeficientul 1 la o necunoscută
• Poți exprima ușor o necunoscută
• Coeficienții sunt mici

Metoda 2: Reducerea

Alege când:

• Coeficienții sunt “prietenoși” pentru eliminare
• Nu poți exprima ușor o necunoscută
• Vrei să eviți fracții

Metoda 3: Cramer

Alege când:

• Coeficienții sunt numere
• Vrei o metodă sistematică
• Lucrezi cu parametri

Metoda 4: Grafică

Alege când:

• Vrei o reprezentare vizuală
• Soluțiile sunt numere întregi
• Ești la început și vrei să înțelegi conceptul

12. Verificarea Soluției – Obligatoriu!

Niciodată să nu sări peste verificarea în AMBELE ecuații!

Exemplu: Pentru sistemul:

2x + 3y = 13
x - y = 1

Am găsit x=4, y=3

Verificare:

• În prima: 2×4 + 3×3 = 8 + 9 = 17? Nu, 8+9=17 ≠ 13 ✗
• Deci soluția e greșită! (corect e x=3.2, y=2.2)

Verificarea corectă:
Corect ar fi fost: 2×4 + 3×3 = 8 + 9 = 17 ≠ 13, deci greșit.

Concluzie: Să-ți spun ceva direct

Sistemele de ecuații nu sunt o bătaie de cap algebrică. Sunt modalitatea de a găsi punctul de echilibru între două condiții, de a rezolva probleme cu două variabile interdependente.

Cele mai multe greșeli vin din:

1. Greșeli de calcul la înmulțirea ecuațiilor
2. Semne greșite la scădere
3. Verificarea incompletă a soluției
4. Confuzia între metode

Așa că ia o foaie și rezolvă acum trei sisteme cu trei metode diferite:

1. Cu substituția:

   x + y = 7
   2x - y = 8

2. Cu reducerea:

   3x + 2y = 16
   2x - 3y = 5

3. Cu Cramer:

   4x + y = 9
   3x - 2y = 4

Verifică-ți răspunsurile:

1. x=5, y=2 (5+2=7, 10-2=8)
2. x=4, y=2 (12+4=16, 8-6=2)
3. Δ=-11, Δx=-22, Δy=7 → x=2, y=1 (8+1=9, 6-2=4)

Pentru că puterea adevărată a sistemelor de ecuații nu este în rezolvarea lor mecanică, ci în înțelegerea că ele modelează realități complexe cu două variabile. O dată ce vezi că problemele de amestecuri, vârste, bani, distanțe se reduc la găsirea unui punct de intersecție, matematica devine o unealtă puternică.

Sfat de final: Încearcă întotdeauna să vizualizezi geometric sistemul. Chiar dacă rezolvi algebric, gândește-te la dreptele reprezentate. Dacă ai două ecuații contradictorii (paralele), vei obține o contradicție algebrică. Dacă ai două ecuații dependente (aceeași dreaptă), vei obține o identitate. Această legătură între algebră și geometrie este esența frumuseții matematicii!

Bun, hai să vorbim despre un subiect care stă la baza întregii matematici. Ecuațiile de gradul I. Nu sunt doar niște exerciții școlare. Sunt cheia către rezolvarea oricărei probleme care implică o relație liniară, o proporție directă, o creștere constantă. E un concept atât de fundamental încât, dacă îl stăpânești, ai deblocat o abilitate care îți va folosi toată viața. Dar aici intervine și partea elegantă: simplitatea și universalitatea lor.

1. Ce e o Ecuație de Gradul I? (Spoiler: Nu e Doar o Linie cu o Literă)

Gândește-te la ea ca la o balanță perfect echilibrată care conține o necunoscută. Ca atunci când spui “dacă de trei ori un număr plus cinci dă paisprezece, care este acel număr?”

Definiția oficială: O ecuație de forma ax + b = 0, unde a, b ∈ ℝ, a ≠ 0.
Traducerea umană: O egalitate cu o necunoscută (de obicei x) care apare la puterea 1.

Forma generală: ax + b = 0

• a = coeficientul lui x (a ≠ 0, altfel nu mai e ecuație de gradul I)
• b = termenul liber
• x = necunoscuta (variabila)

Exemple simple:

2x + 3 = 0       (a=2, b=3)
5x - 7 = 0       (a=5, b=-7)
x + 4 = 0        (a=1, b=4) - atenție, a=1 chiar dacă nu se vede!
-3x + 2 = 0      (a=-3, b=2)

2. De ce a ≠ 0? (Spoiler: Altfel Nu Mai E Gradul I)

Dacă a = 0, ecuația devine: 0·x + b = 0 → b = 0

Două cazuri:

1. Dacă b = 0: 0 = 0 (identitate, infinit de soluții)
2. Dacă b ≠ 0: b = 0 (contradicție, nicio soluție)

Deci pentru a avea o ecuație de gradul I propriu-zisă, trebuie a ≠ 0!

3. Rezolvarea Pas cu Pas – Metoda Sistematică

Formula generală de rezolvare: Dacă ax + b = 0 și a ≠ 0, atunci:

x = -b/a

De ce? Să vedem deducția:

ax + b = 0           (ecuația inițială)
ax = -b              (scădem b din ambele părți)
x = -b/a             (împărțim la a)

Exemplu 1: 3x + 6 = 0

3x + 6 = 0
3x = -6             (am trecut 6 în dreapta cu semn schimbat)
x = -6/3 = -2       (am împărțit la 3)
Verificare: 3·(-2) + 6 = -6 + 6 = 0 ✓

Exemplu 2: 5x – 10 = 0

5x - 10 = 0
5x = 10             (-10 a devenit +10 când l-am trecut în dreapta)
x = 10/5 = 2
Verificare: 5·2 - 10 = 10 - 10 = 0 ✓

Exemplu 3: -2x + 8 = 0

-2x + 8 = 0
-2x = -8            (8 a devenit -8)
x = (-8)/(-2) = 4   (minus împărțit la minus = plus)
Verificare: -2·4 + 8 = -8 + 8 = 0 ✓

4. Metoda “Balansului” – Cea Mai Intuitivă

Gândește-te la semnul “=” ca la o balanță. Ce faci într-o parte, trebuie să faci și în cealaltă pentru a menține echilibrul!

Exemplu: 3x + 5 = 14

Balansul: [3x + 5] = [14]
Scădem 5 din ambele părți: 3x + 5 - 5 = 14 - 5
Simplificăm: 3x = 9
Împărțim la 3 ambele părți: 3x/3 = 9/3
Obținem: x = 3
Verificare: 3·3 + 5 = 9 + 5 = 14 ✓

Regula de aur: Poți aduna, scădea, înmulți sau împărți (cu număr ≠ 0) ambele părți ale ecuației cu același număr!

5. Pașii Universali de Rezolvare (pentru orice ecuație de gradul I)

Pasul 1: Elimină parantezele (dacă există)
Pasul 2: Adu termenii cu x într-o parte și numerele în cealaltă
Pasul 3: Reduce termenii asemenea
Pasul 4: Izolează x
Pasul 5: Verifică soluția

Exemplu complet: 2(x + 3) – 5 = 3x + 1

Pasul 1: 2x + 6 - 5 = 3x + 1   (am desfăcut paranteza)
Pasul 2: 2x - 3x = 1 - 6 + 5   (am adus x-uri stânga, numere dreapta)
Pasul 3: -x = 0                (am calculat: 2x-3x=-x, 1-6+5=0)
Pasul 4: x = 0                 (am împărțit la -1)
Pasul 5: Verificare: 2(0+3)-5 = 6-5=1 și 3·0+1=1 ✓

6. Cazuri Speciale și Capcane

Cazul 1: Coeficientul lui x este fracție

Exemplu: (1/2)x + 3 = 0

(1/2)x = -3
x = -3 ÷ (1/2) = -3 × 2 = -6   (împărțirea la fracție = înmulțire cu inversa)

Cazul 2: Ecuația conține fracții

Strategia: Înmulțește întreaga ecuație cu numitorul comun!

Exemplu: (x/3) + 2 = 5

Înmulțim cu 3: 3·(x/3) + 3·2 = 3·5
x + 6 = 15
x = 9

Cazul 3: Ecuația are x în ambii membri

Exemplu: 3x + 5 = 2x – 1

3x - 2x = -1 - 5   (aducem x-uri stânga, numere dreapta)
x = -6

Cazul 4: Ecuația are mai mulți termeni asemenea

Exemplu: 2x + 3x – 5 = x + 7

5x - 5 = x + 7     (am adunat 2x+3x=5x)
5x - x = 7 + 5     (aducem x-uri stânga, numere dreapta)
4x = 12
x = 3

7. Interpretarea Geometrică – Unde “Trăiesc” Aceste Ecuații

Ecuația ax + b = 0 reprezintă o dreaptă în plan!

Forma generală a dreptei: y = ax + b
Intersecția cu axa OX: y = 0 → ax + b = 0 → x = -b/a

Exemplu: Pentru dreapta y = 2x – 6

Intersecția cu OX: 2x - 6 = 0 → x = 3
Deci punctul (3, 0) este unde dreapta taie axa OX.

Semnificație: Soluția ecuației ax + b = 0 este abscisa punctului de intersecție al dreptei y = ax + b cu axa OX.

8. Aplicații Practice – Probleme din Viața Reală

Problema 1: Vârste

Ion are de 3 ori vârsta Mariei. Peste 5 ani, va avea de 2 ori vârsta ei. Ce vârstă au?

Rezolvare:

Fie x = vârsta Mariei acum
Atunci vârsta lui Ion acum = 3x
Peste 5 ani: Marie = x+5, Ion = 3x+5
Ecuația: 3x+5 = 2(x+5)
3x+5 = 2x+10
3x-2x = 10-5
x = 5 (Marie)
3x = 15 (Ion)

Problema 2: Bani

Dacă aș avea încă 50 de lei, aș avea de 3 ori mai mulți bani decât am acum. Câți bani am?

Rezolvare:

Fie x = banii pe care îi am
x + 50 = 3x
50 = 3x - x
50 = 2x
x = 25 lei

Problema 3: Distanțe

Un biciclist merge cu viteza constantă. Dacă ar merge cu 5 km/h mai repede, ar parcurge 30 km cu o oră mai repede. Care este viteza lui?

Rezolvare:

Fie v = viteza (km/h)
Timpul normal: t = 30/v
Timpul cu viteza mărită: t-1 = 30/(v+5)
Ecuația: 30/v - 1 = 30/(v+5)
(30 - v)/v = 30/(v+5)
(30-v)(v+5) = 30v
30v + 150 - v² - 5v = 30v
-v² - 5v + 150 = 0
v² + 5v - 150 = 0
(v+15)(v-10) = 0
v = 10 km/h (viteza pozitivă)

9. Sisteme de Ecuații de Gradul I (Bonus Avansat)

Când ai mai multe necunoscute, ai nevoie de mai multe ecuații!

Exemplu:

x + y = 10
x - y = 2

Metode de rezolvare:

1. Metoda substituției: Exprimi o necunoscută din prima ecuație și înlocuiești în a doua.
2. Metoda reducerii: Aduni/scazi ecuațiile pentru a elimina o necunoscută.
3. Metoda grafică: Reprezinți dreptele și găsești punctul de intersecție.

Rezolvare prin reducere:

x + y = 10
x - y = 2
------------ (+)
2x = 12 → x = 6
6 + y = 10 → y = 4

10. Verificarea Soluției – Cel Mai Important Pas!

Niciodată să nu sări peste verificarea soluției!

De ce să verifici:

1. Poți să fi făcut o greșeală de calcul
2. Poți să fi uitat o restricție (de exemplu, numitorul să nu fie zero)
3. Confirmă că soluția este corectă

Cum verifici: Înlocuiești soluția în ecuația originală și vezi dacă obții o egalitate adevărată.

Exemplu: Pentru 2x + 3 = 7, am găsit x = 2

Verificare: 2·2 + 3 = 4 + 3 = 7 ✓

11. Capcane și Greșeli Frecvente

Capcana 1: 3x = 6 → x = 2 (corect), dar 3x = 6 → x = 6/3 = 2 (mai clar!)

Preferă să scrii întotdeauna pasul complet: 3x = 6 → x = 6/3 = 2

Capcana 2: -x = 5 → x = 5 ✗

CORECT: -x = 5 → x = -5 ✓
Sau: -x = 5 | ×(-1) → x = -5 ✓

Capcana 3: 2x + 3 = 2x + 5 → 3 = 5 (contradicție)

Acesta e cazul când ecuația NU are soluție!
2x - 2x = 5 - 3 → 0 = 2 ✗

Capcana 4: 3(x+2) = 3x+2 ✗

CORECT: 3(x+2) = 3x + 6 ✓ (distributivitatea!)

Capcana 5: x/2 = 3 → x = 3/2 ✗

CORECT: x/2 = 3 → x = 3×2 = 6 ✓

12. Strategii pentru Rezolvarea Rapidă

Strategia 1: Scrii întotdeauna pașii

Nu încerca să faci totul în minte. Scrie-l!

Strategia 2: Verifică prin estimare

Înainte de a rezolva, estimează soluția. Dacă 3x + 4 = 19, x trebuie să fie cam 5.

Strategia 3: Învață să “vezi” structura

Recunoaște tipare: dacă ax + b = c, atunci x = (c-b)/a

Strategia 4: Folosește metoda balansului mereu

Este cea mai sigură și mai puțin predispusă la erori.

Concluzie: Să-ți spun ceva direct

Ecuațiile de gradul I nu sunt o banalitate matematică. Sunt instrumentul fundamental prin care exprimi și rezolvi probleme din lumea reală. Ele sunt limba în care vorbesc relațiile liniare, proporțiile directe, creșterile constante.

Cele mai multe greșeli vin din graba de a “ajunge la rezultat” fără a scrie toți pașii, sau din aplicarea incorectă a proprietăților (mai ales la semne și la fracții).

Așa că ia o foaie și rezolvă acum:

1. 4x – 8 = 0
2. 3(x-2) = 15
3. (x/5) + 2 = 7
4. 2x + 5 = 3x – 1
5. Verifică fiecare soluție!

Verifică-ți răspunsurile:

1. x = 2 (4·2-8=8-8=0)
2. x = 7 (3(7-2)=3·5=15)
3. x = 25 (25/5+2=5+2=7)
4. x = 6 (2·6+5=12+5=17, 3·6-1=18-1=17)

Pentru că puterea adevărată a ecuațiilor de gradul I nu este în rezolvarea lor mecanică, ci în înțelegerea că ele modelează realitatea. O dată ce vezi că vârstele, banii, distanțele, vitezele se supun acestor ecuații simple, matematica devine o unealtă practică, nu o abstractizare.

Sfat de final: Transformă orice problemă din viața reală într-o ecuație. Pune necunoscuta x acolo unde nu știi valoarea. Apoi traduce situația în relații matematice. În cele din urmă, rezolvă ecuația. Aceasta este esența matematicii aplicate – și începe cu ecuații simple de gradul I!

Bun, hai să vorbim despre un set de formule care economisesc timp, reduc erorile și transformă calculele lungi în operații simple. Formulele de calcul prescurtat. Nu sunt doar niște egalități de memorat. Sunt instrumente puternice care dezvăluie structura profundă a expresiilor algebrice. Ele sunt atât de importante încât, dacă le stăpânești, poți să navighezi prin algebra ca un expert. Dar aici intervine și partea elegantă: fiecare formulă are o interpretare geometrică frumoasă.

1. De ce Avem Nevoie de Aceste Formule? (Spoiler: Nu Pentru a Ne Tortura)

Gândește-te la ele ca la scurtături în calcul. Ca atunci când în loc să mergi pe drumul lung (înmulțiri repetate), iei autostrada (formula directă).

Problema: Calculează (x + 5)²
Metoda lungă: (x + 5)(x + 5) = x·x + x·5 + 5·x + 5·5 = x² + 5x + 5x + 25 = x² + 10x + 25
Metoda scurtă: (x + 5)² = x² + 2·x·5 + 5² = x² + 10x + 25

Beneficii:

• Economie de timp
• Reducerea șanselor de greșeli
• Înțelegerea structurii expresiilor
• Ușurarea factorizării

2. Formulele Fundamentale – Cele Trei Mari

1. Pătratul unei sume: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Regula mnemonică: “Primul la pătrat, plus dublul produsului, plus al doilea la pătrat”

Exemplu numeric: (3 + 4)²

Metoda lungă: 7² = 49
Metoda prescurtată: 3² + 2·3·4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49 ✓

Exemplu algebric: (x + 3)²

x² + 2·x·3 + 3² = x² + 6x + 9

Interpretare geometrică: Aria unui pătrat cu latura (a+b)

     a      b
   ┌──────┬─────┐
 a │ a²   │ ab  │ a
   ├──────┼─────┤
 b │ ab   │ b²  │ b
   └──────┴─────┘
Total arie: a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

2. Pătratul unei diferențe: (a – b)² = a² – 2ab + b²

Regula mnemonică: “Primul la pătrat, minus dublul produsului, plus al doilea la pătrat”

Exemplu numeric: (5 – 2)²

Metoda lungă: 3² = 9
Metoda prescurtată: 5² - 2·5·2 + 2² = 25 - 20 + 4 = 9 ✓

Exemplu algebric: (2x – 3)²

(2x)² - 2·(2x)·3 + 3² = 4x² - 12x + 9

Atenție la semne!

GREȘIT: (a - b)² = a² - b² ✗
CORECT: (a - b)² = a² - 2ab + b² ✓

3. Produsul sumei cu diferența: (a + b)(a – b) = a² – b²

Regula mnemonică: “Pătratul primului minus pătratul celui de-al doilea”

Exemplu numeric: (7 + 3)(7 – 3)

Metoda lungă: 10 × 4 = 40
Metoda prescurtată: 7² - 3² = 49 - 9 = 40 ✓

Exemplu algebric: (x + 5)(x – 5)

x² - 5² = x² - 25

Interpretare geometrică: Diferența ariilor a două pătrate

Mare pătrat latura a → arie a²
Mic pătrat latura b → arie b²
Dreptunghi rămas: (a+b)(a-b) = a² - b²

3. Formule Derivate – Când Lucrurile se Complică

4. Cubul sumei: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Regula mnemonică: “Cubul primului, plus triplul pătrat-prim ori al-doilea, plus triplul prim ori pătrat-al-doilea, plus cubul celui de-al doilea”

Exemplu numeric: (2 + 1)³

2³ + 3·2²·1 + 3·2·1² + 1³ = 8 + 12 + 6 + 1 = 27
Verificare: 3³ = 27 ✓

Exemplu algebric: (x + 2)³

x³ + 3·x²·2 + 3·x·2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8

5. Cubul diferenței: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Exemplu algebric: (x – 3)³

x³ - 3·x²·3 + 3·x·3² - 3³ = x³ - 9x² + 27x - 27

Observație: Semnele alternează: +, -, +, –

6. Suma cuburilor: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²)

Exemplu numeric: 8 + 27 (adică 2³ + 3³)

(2 + 3)(2² - 2·3 + 3²) = 5 × (4 - 6 + 9) = 5 × 7 = 35
Verificare: 8 + 27 = 35 ✓

7. Diferența cuburilor: a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

Exemplu algebric: x³ – 8 (adică x³ – 2³)

(x - 2)(x² + x·2 + 2²) = (x - 2)(x² + 2x + 4)

4. Formule pentru Trei Termeni

8. Pătratul unui trinom: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

Regula: Suma pătratelor plus dublul tuturor produselor perechi.

Exemplu numeric: (1 + 2 + 3)²

1² + 2² + 3² + 2·1·2 + 2·1·3 + 2·2·3 = 1 + 4 + 9 + 4 + 6 + 12 = 36
Verificare: 6² = 36 ✓

Exemplu algebric: (x + y + 1)²

x² + y² + 1² + 2xy + 2x·1 + 2y·1 = x² + y² + 1 + 2xy + 2x + 2y

5. Aplicații Practice – Unde Le Folosești cu Adevărat

1. La calcul rapid mental:

99² = (100 - 1)² = 100² - 2·100·1 + 1² = 10000 - 200 + 1 = 9801
51 × 49 = (50+1)(50-1) = 50² - 1² = 2500 - 1 = 2499

2. La simplificarea expresiilor:

(x+3)² - (x-3)² = (x²+6x+9) - (x²-6x+9) = 12x

3. La factorizare (inversul formulelor):

x² - 9 = (x-3)(x+3)
x² + 6x + 9 = (x+3)²
x³ - 27 = (x-3)(x²+3x+9)

4. La rezolvarea ecuațiilor:

x² - 5x + 6 = 0
(x-2)(x-3) = 0
x = 2 sau x = 3

6. Demonstrații Vizuale – De ce Funcționează?

Pentru (a+b)²:

Imaginează-ți un pătrat mare împărțit în 4 părți:

    a      b
  ┌──────┬─────┐
a │ a²   │ ab  │
  ├──────┼─────┤
b │ ab   │ b²  │
  └──────┴─────┘
Aria totală: a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Pentru (a+b)(a-b):

Imaginează-ți că tai un pătrat mic din colțul unui pătrat mare:

Pătrat mare: a²
Pătrat mic tăiat: b²
Aria rămasă: a² - b²
Dar poate fi reorganizată ca un dreptunghi cu laturile (a+b) și (a-b)

7. Probleme Rezolvate Pas cu Pas

Problema 1: Dezvoltă: (2x – 3y)²

Rezolvare:

(2x)² - 2·(2x)·(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy + 9y²

Problema 2: Calculează rapid: 103 × 97

Rezolvare:

103 = 100 + 3
97 = 100 - 3
103 × 97 = (100+3)(100-3) = 100² - 3² = 10000 - 9 = 9991

Problema 3: Factorizează: x⁴ – 16

Rezolvare:

x⁴ - 16 = (x²)² - 4² = (x² - 4)(x² + 4) = (x-2)(x+2)(x²+4)

Problema 4: Simplifică: (x+2)³ – (x-2)³

Rezolvare:

(x+2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8
(x-2)³ = x³ - 6x² + 12x - 8
Diferența: (x³+6x²+12x+8) - (x³-6x²+12x-8) = 12x² + 16

8. Formule pentru Binomul lui Newton (Bonus Avansat)

Pentru (a+b)ⁿ, coeficienții sunt din triunghiul lui Pascal:

Triunghiul lui Pascal:

n=0:       1
n=1:      1 1
n=2:     1 2 1
n=3:    1 3 3 1
n=4:   1 4 6 4 1

Exemple:

(a+b)³ = 1·a³ + 3·a²b + 3·ab² + 1·b³
(a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

9. Capcane și Greșeli Frecvente

Capcana 1: (a+b)² = a² + b²

GREȘIT: (x+3)² = x² + 9 ✗
CORECT: (x+3)² = x² + 6x + 9 ✓

Capcana 2: (a-b)² = a² – b²

GREȘIT: (x-4)² = x² - 16 ✗
CORECT: (x-4)² = x² - 8x + 16 ✓

Capcana 3: √(a² + b²) = a + b

GREȘIT: √(x² + 25) = x + 5 ✗
CORECT: √(x² + 25) rămâne așa ✓

Capcana 4: (a+b)³ = a³ + b³

GREȘIT: (x+2)³ = x³ + 8 ✗
CORECT: (x+2)³ = x³ + 6x² + 12x + 8 ✓

Capcana 5: a² – b² = (a-b)²

GREȘIT: x² - 9 = (x-3)² ✗
CORECT: x² - 9 = (x-3)(x+3) ✓

10. Exerciții de Antrenament

Nivel ușor:

1. (x+4)² = ?
2. (3-y)² = ?
3. (a+5)(a-5) = ?

Nivel mediu:

1. (2x+1)² = ?
2. (x-3)³ = ?
3. 98² = ? (folosind formula)

Nivel dificil:

1. (x+y+z)² = ?
2. (a+b)⁴ = ?
3. Factorizează: x⁶ – 64

Răspunsuri:
Ușor: 1) x²+8x+16, 2) 9-6y+y², 3) a²-25
Mediu: 1) 4x²+4x+1, 2) x³-9x²+27x-27, 3) (100-2)²=10000-400+4=9604
Dificil: 1) x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz, 2) a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴, 3) (x³-8)(x³+8)=(x-2)(x²+2x+4)(x+2)(x²-2x+4)

11. Strategii de Memorare

1. Asocieri vizuale:

• (a+b)² → imaginează pătratul împărțit
• (a+b)(a-b) → imaginează pătratul cu colțul tăiat

2. Reguli mnemonice:

• “Pătrat sumă: pătrat, dublu produs, pătrat”
• “Sumă ori diferență: pătrat minus pătrat”

3. Practică prin aplicații:

• Calculează rapid prețuri cu TVA
• Estimează arii și volume
• Rezolvă puzzle-uri matematice

Concluzie: Să-ți spun ceva direct

Formulele de calcul prescurtat nu sunt o bătaie de cap de memorat. Sunt scurtături elegante care dezvăluie structura algebrei. Ele fac legătura între algebra simbolică și geometria vizuală.

Cele mai multe greșeli vin din încercarea de a “scurta” prea mult – să sari peste termenul de mijloc. Aminteste-ți întotdeauna de “dublul produsului” la pătrate și de semnele alternate la cuburi.

Așa că ia o foaie și exersează acum:

1. (x+7)² = ?
2. (2a-3b)² = ?
3. (p+4)(p-4) = ?
4. 47² = ? (folosește formula)
5. Factorizează: 4x² – 9

Verifică-ți răspunsurile:

1. x² + 14x + 49
2. 4a² – 12ab + 9b²
3. p² – 16
4. (50-3)² = 2500 – 300 + 9 = 2209
5. (2x-3)(2x+3)

Pentru că puterea adevărată a acestor formule nu este în a le aplica mecanic, ci în a înțelege ce reprezintă ele. O dată ce vezi geometria din spatele lor, algebra devine o limbă vie, frumoasă și logică.

Sfat de final: Nu învăța formulele pe de rost ca pe o poezie. Învață-le prin utilizare. Rezolvă zece exerciții cu fiecare formulă. Transformă-le în reflex. Și cel mai important: verifică-ți întotdeauna rezultatele prin metoda lungă la început. Așa îți întărești încrederea și înțelegerea.

Bun, hai să vorbim despre un subiect care transformă literele în numere și invers. Expresiile algebrice. Nu sunt doar niște formule abstracte cu x și y. Sunt limbajul universal al matematicii, modalitatea de a descrie relații, de a generaliza modele, de a rezolva probleme fără a ști numerele concrete. E un concept atât de puternic încât, odată ce-l stăpânești, poți să abordezi orice problemă matematică. Dar aici intervine și partea tehnică: operațiile, simplificările, factorizările care transformă o expresie complicată într-una elegantă.

1. Ce e o Expresie Algebrică? (Spoiler: Nu e Doar Litere Amestecate)

Gândește-te la ea ca la o “rețetă matematică” care folosește litere în loc de numere specifice. Ca atunci când spui “de două ori un număr plus cinci” în loc de “de două ori 7 plus cinci”.

Definiția oficială: O expresie algebrică este o combinație de numere, litere (variabile) și operații matematice.
Traducerea umană: O formulă care funcționează pentru orice numere, nu doar pentru unele specifice.

Componentele cheie:

• Variabile: litere care reprezintă numere (x, y, a, b…)
• Constante: numere fixe (2, 5, -3, π…)
• Coeficienți: numere care înmulțesc variabilele (în 3x, 3 este coeficientul)
• Termeni: părțile expresiei separate de + sau –

Exemple:

3x + 5               (2 termeni: 3x și 5)
2a² - 4ab + 7b       (3 termeni)
(x + 3)(x - 2)       (produs de doi factori)

Termeni asemenea: Termeni care au aceleași variabile la aceleași puteri.

3x și 5x sunt asemenea (ambele au x)
2x² și 4x² sunt asemenea (ambele au x²)
3x și 3y NU sunt asemenea (variabile diferite)
2x² și 2x NU sunt asemenea (puteri diferite)

2. Adunarea și Scăderea – Combinarea Termenilor Asemenea

Regula de aur: Poți aduna/scădea DOAR termeni asemenea!

Metoda:

1. Identifică termenii asemenea
2. Adună/scade coeficienții
3. Păstrează partea literală

Exemplu 1: 3x + 5x – 2x

Toți sunt termeni asemenea (au x)
(3 + 5 - 2)x = 6x

Exemplu 2: 2a + 3b + 4a – b

Termeni cu a: 2a + 4a = 6a
Termeni cu b: 3b - b = 2b
Rezultat: 6a + 2b

Exemplu 3: 3x² + 2x + 5x² – 4x + 1

Termeni cu x²: 3x² + 5x² = 8x²
Termeni cu x: 2x - 4x = -2x
Constante: 1
Rezultat: 8x² - 2x + 1

Atenție la semne!

5x - (-3x) = 5x + 3x = 8x
-2a - (+4a) = -2a - 4a = -6a

3. Înmulțirea – Distributivitatea în Acțiune

Înmulțirea unui monom cu un monom

Înmulțim coeficienții între ei și părțile literale între ele.

Exemplu: (3x) × (2y) = 6xy

Coeficienți: 3 × 2 = 6
Variabile: x × y = xy

Exemplu cu puteri: (2x²) × (3x³) = 6x⁵

2×3 = 6, x²×x³ = x²⁺³ = x⁵

Înmulțirea unui monom cu un polinom

Folosim proprietatea distributivă.

Exemplu: 3x(2x + 5)

3x × 2x = 6x²
3x × 5 = 15x
Rezultat: 6x² + 15x

Exemplu: -2a(a² – 3a + 4)

-2a × a² = -2a³
-2a × (-3a) = +6a²
-2a × 4 = -8a
Rezultat: -2a³ + 6a² - 8a

Înmulțirea a două polinoame

Înmulțim fiecare termen din primul polinom cu fiecare termen din al doilea.

Exemplu: (x + 3)(x + 2)

x × x = x²
x × 2 = 2x
3 × x = 3x
3 × 2 = 6
Rezultat: x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6

Metoda FOIL (pentru binom×binom):

• First: x × x = x²
• Outer: x × 2 = 2x
• Inner: 3 × x = 3x
• Last: 3 × 2 = 6

4. Formule de Calcul Prescurtat – Superputerile Algebrei

Aceste formule economisesc timp și reduc șansele de greșeli!

1. Pătratul sumei: (a + b)² = a² + 2ab + b²

Exemplu: (x + 5)² = x² + 2×x×5 + 5² = x² + 10x + 25

2. Pătratul diferenței: (a – b)² = a² – 2ab + b²

Exemplu: (3x – 2)² = (3x)² – 2×3x×2 + 2² = 9x² – 12x + 4

3. Produsul sumei cu diferența: (a + b)(a – b) = a² – b²

Exemplu: (x + 4)(x – 4) = x² – 4² = x² – 16

4. Cubul sumei: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Exemplu: (x + 2)³ = x³ + 3x²×2 + 3x×2² + 2³ = x³ + 6x² + 12x + 8

5. Cubul diferenței: (a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Exemplu: (2x – 1)³ = (2x)³ – 3×(2x)²×1 + 3×2x×1² – 1³ = 8x³ – 12x² + 6x – 1

Regula mnemonică: Pentru (a±b)²: “Primul la pătrat, plus/minus dublul produsului, plus al doilea la pătrat”

5. Împărțirea – Factor Comun și Simplificare

Împărțirea unui polinom la un monom

Împărțim fiecare termen al polinomului la monom.

Exemplu: (6x³ + 9x² – 3x) ÷ 3x

6x³ ÷ 3x = 2x²
9x² ÷ 3x = 3x
-3x ÷ 3x = -1
Rezultat: 2x² + 3x - 1

Împărțirea polinoamelor

Folosim algoritmul de împărțire similar cu cel al numerelor.

Exemplu: (x² + 5x + 6) ÷ (x + 2)

Metoda 1: Factorizare
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Deci (x+2)(x+3) ÷ (x+2) = x+3

Metoda 2: Împărțire clasică
   x + 3
x+2|x² + 5x + 6
   -(x² + 2x)
   ----------
        3x + 6
      -(3x + 6)
      ---------
           0

6. Factorizarea – Arta de a Descompune în Factori

Aceasta e una dintre cele mai importante abilități în algebră!

1. Factor comun

Identificăm cel mai mare factor comun al tuturor termenilor.

Exemplu 1: 6x³ + 9x²

Factor comun: 3x²
6x³ ÷ 3x² = 2x
9x² ÷ 3x² = 3
Rezultat: 3x²(2x + 3)

Exemplu 2: 4a²b – 8ab² + 12ab

Factor comun: 4ab
4a²b ÷ 4ab = a
-8ab² ÷ 4ab = -2b
12ab ÷ 4ab = 3
Rezultat: 4ab(a - 2b + 3)

2. Gruparea termenilor

Când nu există un factor comun pentru toți termenii.

Exemplu: ax + ay + bx + by

Grupează: (ax + ay) + (bx + by)
Factor comun în prima grupă: a(x + y)
Factor comun în a doua grupă: b(x + y)
Rezultat: (x + y)(a + b)

3. Folosirea formulelor de calcul prescurtat

Exemplu 1: x² – 9 = (x – 3)(x + 3) (diferență de pătrate)

Exemplu 2: x² + 6x + 9 = (x + 3)² (pătrat perfect)

Exemplu 3: x³ – 8 = (x – 2)(x² + 2x + 4) (diferență de cuburi)

4. Trinomul de gradul II: ax² + bx + c

Metoda:

1. Înmulțim a × c
2. Căutăm două numere care înmulțite dau a×c și adunate dau b
3. Rescriem bx ca sumă a celor doi termeni
4. Grupăm și factorizăm

Exemplu: x² + 5x + 6

a×c = 1×6 = 6
Căutăm numere care: × = 6, + = 5 → 2 și 3
Rescriem: x² + 2x + 3x + 6
Grupează: (x² + 2x) + (3x + 6)
Factorizează: x(x+2) + 3(x+2)
Rezultat: (x+2)(x+3)

7. Simplificarea Fracțiilor Algebrice

Aceasta e ca simplificarea fracțiilor numerice, dar cu expresii!

Regula: Putem simplifica factori comuni de la numărător și numitor.

Exemplu 1: (3x²y)/(6xy²)

Simplificăm 3 cu 6: 1/2
Simplificăm x² cu x: x
Simplificăm y cu y²: 1/y
Rezultat: x/(2y)

Exemplu 2: (x² – 4)/(x² + 4x + 4)

Numărător: x² - 4 = (x-2)(x+2)
Numitor: x² + 4x + 4 = (x+2)²
Simplificăm (x+2): (x-2)/(x+2)

Atenție la capcane!

GREȘIT: (x+y)/(x) = y ✗ (nu se simplifică așa!)
CORECT: (x+y)/x rămâne așa ✓

8. Operații cu Fracții Algebrice

1. Adunarea/Scăderea

Trebuie aducere la același numitor!

Exemplu: 1/(x+1) + 2/(x-1)

Numitor comun: (x+1)(x-1)
Amplifică prima: 1×(x-1)/[(x+1)(x-1)] = (x-1)/(x²-1)
Amplifică a doua: 2×(x+1)/[(x-1)(x+1)] = (2x+2)/(x²-1)
Rezultat: (x-1 + 2x+2)/(x²-1) = (3x+1)/(x²-1)

2. Înmulțirea

Înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei, apoi simplificăm.

Exemplu: (x²-1)/(x+2) × (x+2)/(x-1)

(x²-1)(x+2)/[(x+2)(x-1)] = (x²-1)/(x-1) = (x-1)(x+1)/(x-1) = x+1

3. Împărțirea

Înmulțim cu inversa.

Exemplu: (x-3)/(x+1) ÷ (x²-9)/(x+1)

= (x-3)/(x+1) × (x+1)/(x²-9) = (x-3)(x+1)/[(x+1)(x-3)(x+3)] = 1/(x+3)

9. Aplicații Practice – De ce Chiar Îți Pasă?

1. În rezolvarea ecuațiilor:

Simplificarea expresiilor înainte de rezolvare.

2. În geometrie:

Calculul ariilor, volumelor cu expresii algebrice.

3. În fizică:

Formule fizice sunt expresii algebrice.

4. În economie:

Modele economice folosesc expresii algebrice.

5. Pentru BAC:

• Simplificarea expresiilor
• Rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor
• Probleme de geometrie analitică

10. Probleme Rezolvate Pas cu Pas

Problema 1: Simplifică: 3x(2x-5) + 2(x²-3x)

Rezolvare:

3x(2x-5) = 6x² - 15x
2(x²-3x) = 2x² - 6x
Suma: 6x² - 15x + 2x² - 6x = 8x² - 21x

Problema 2: Factorizează: x³ – 4x² + 4x

Rezolvare:

Factor comun: x
x(x² - 4x + 4)
x² - 4x + 4 = (x-2)²
Rezultat: x(x-2)²

Problema 3: Simplifică: (x²-9)/(x²+6x+9)

Rezolvare:

Numărător: x²-9 = (x-3)(x+3)
Numitor: x²+6x+9 = (x+3)²
Rezultat: (x-3)(x+3)/(x+3)² = (x-3)/(x+3)

11. Capcane și Greșeli Frecvente

Capcana 1: (a+b)² ≠ a² + b²

GREȘIT: (x+3)² = x² + 9 ✗
CORECT: (x+3)² = x² + 6x + 9 ✓

Capcana 2: √(a² + b²) ≠ a + b

GREȘIT: √(x² + 9) = x + 3 ✗
CORECT: √(x² + 9) rămâne așa ✓

Capcana 3: Simplificarea greșită a sumelor

GREȘIT: (x+y)/x = y ✗
CORECT: (x+y)/x = 1 + y/x ✓

Capcana 4: -(x-y) ≠ -x-y

GREȘIT: -(x-3) = -x-3 ✗
CORECT: -(x-3) = -x+3 ✓

Capcana 5: 1/(1/x) ≠ x întotdeauna

GREȘIT: 1/(1/x) = x (corect, dar atenție la x=0!) ✓✗
CORECT: 1/(1/x) = x, pentru x ≠ 0 ✓

Concluzie: Să-ți spun ceva direct

Operațiile cu expresii algebrice nu sunt doar niște reguli de calcul. Sunt gramatica limbajului matematic. Dacă stăpânești această gramatică, poți “vorbi” matematică fluent.

Cele mai multe greșeli vin din aplicarea regulilor aritmetice acolo unde nu se aplică (mai ales la puteri și radicali) sau din neglijarea parantezelor și a semnelor.

Așa că ia o foaie și rezolvă acum:

1. Simplifică: 2x(3x-4) – (x²-2x)
2. Factorizează: x² – 5x + 6
3. Simplifică: (x²-4x+4)/(x²-4)

Verifică-ți răspunsurile:

1. 6x² – 8x – x² + 2x = 5x² – 6x
2. x² – 5x + 6 = (x-2)(x-3)
3. (x-2)²/[(x-2)(x+2)] = (x-2)/(x+2)

Pentru că algebra nu e despre memorarea formulelor, e despre înțelegerea structurii. O expresie algebrică e ca un puzzle – uneori trebuie descompusă (factorizare), alteori asamblată (dezvoltare), dar întotdeauna cu respectarea regulilor.

Sfat de final: Învață formulele de calcul prescurtat nu prin memorare, ci prin înțelegerea lor geometrice. (a+b)² este literalmente aria unui pătrat cu latura (a+b)! Și verifică întotdeauna rezultatele prin înlocuirea variabilelor cu valori numerice simple.

Bun, hai să vorbim despre un subiect care unește două lumi aparent diferite: aritmetica și geometria. Mediile. Nu sunt doar niște formule de calculat. Sunt modalități fundamentale de a “rezuma” un set de numere, de a găsi un “reprezentant” pentru o mulțime de valori. Ele sunt atât de importante încât le întâlnim în statistică, în finanțe, în știință, și chiar în viața de zi cu zi. Dar aici intervine și partea subtilă: fiecare medie are sensul ei propriu și aplicația ei specifică.

1. Ce e o Medie? (Spoiler: Nu e Doar Suma Împărțită la Număr)

Gândește-te la o medie ca la un număr care “reprezintă” o mulțime de alte numere. Ca atunci când spui “în medie, am luat nota 8” – nu ai luat toate notele 8, dar 8 e un fel de reprezentant al tuturor notelor tale.

Definiție generală: O medie este o valoare care caracterizează un set de numere, situată în mod tipic undeva între valorile extreme.

De ce avem nevoie de mai multe tipuri de medii? Pentru că diferite situații necesită diferite moduri de “rezumare”!

2. Media Aritmetică – Superstarul Mediilor

Definiția oficială:

Media aritmetică a n numere a₁, a₂, …, aₙ este:

MA = (a₁ + a₂ + ... + aₙ) / n

Traducerea umană: Suma numerelor, împărțită la câte sunt.

Exemple simple:

Notele: 7, 8, 9
MA = (7 + 8 + 9) / 3 = 24 / 3 = 8

Temperaturile zilnice: 15°, 18°, 20°, 22°
MA = (15 + 18 + 20 + 22) / 4 = 75 / 4 = 18.75°

Proprietățile Media Aritmetice:

1. Este întotdeauna între minim și maxim:

min(a₁, a₂, ..., aₙ) ≤ MA ≤ max(a₁, a₂, ..., aₙ)

Exemplu: Pentru 3, 5, 10: 3 ≤ 6 ≤ 10 ✓

2. Este sensibilă la valori extreme:

MA(1, 2, 3, 100) = 106/4 = 26.5
Valoarea 100 "trage" media în sus!

3. Suma abaterilor de la medie este zero:

Pentru orice set: Σ(aᵢ - MA) = 0

Exemplu: Pentru 2, 4, 6: MA = 4
Abateri: (2-4) + (4-4) + (6-4) = (-2) + 0 + 2 = 0 ✓

4. Media aritmetică ponderată:
Când unele valori contează mai mult decât altele!

MA_ponderată = (a₁×p₁ + a₂×p₂ + ... + aₙ×pₙ) / (p₁ + p₂ + ... + pₙ)

Exemplu: Nota finală = (nota teza×4 + nota oral×1) / 5

3. Media Geometrică – Rădăcina Produsului

Definiția oficială:

Media geometrică a n numere pozitive a₁, a₂, …, aₙ este:

MG = ⁿ√(a₁ × a₂ × ... × aₙ)

Traducerea umană: Rădăcina de ordin n a produsului numerelor.

Exemple simple:

Numerele: 2, 8
MG = √(2 × 8) = √16 = 4

Numerele: 1, 3, 9
MG = ³√(1 × 3 × 9) = ³√27 = 3

Caz special pentru două numere:

Pentru a și b pozitive:

MG = √(a × b)

Proprietățile Media Geometrice:

1. Este întotdeauna între minim și maxim (pentru numere pozitive):

min(a₁, a₂, ..., aₙ) ≤ MG ≤ max(a₁, a₂, ..., aₙ)

2. Este mai puțin sensibilă la valori extreme decât MA:

Pentru 1, 2, 3, 100:
MA = 26.5
MG = ⁴√(1×2×3×100) = ⁴√600 ≈ 4.95
MG este mult mai aproape de valorile mici!

3. Se conservă prin scalare:

Dacă înmulțim toate numerele cu k, MG se înmulțește cu k

4. Are sens doar pentru numere pozitive!

MG(-2, 8) nu are sens în ℝ (produsul e -16, rădăcina pătrată...)

4. Compararea MA și MG – Inegalitatea Fundamentală

Pentru orice numere pozitive a₁, a₂, …, aₙ:

MG ≤ MA

Și egalitatea are loc doar când toate numerele sunt egale.

Demonstrație pentru două numere:
Pentru a, b > 0:

MA = (a+b)/2
MG = √(ab)
Vrem să arătăm că: √(ab) ≤ (a+b)/2
Ridicăm la pătrat: ab ≤ (a+b)²/4
4ab ≤ a² + 2ab + b²
0 ≤ a² - 2ab + b²
0 ≤ (a-b)² (adevărat!)
Egalitatea când a = b

Exemplu numeric:

Pentru 4 și 9:
MA = (4+9)/2 = 6.5
MG = √(4×9) = √36 = 6
6 ≤ 6.5 ✓

5. Media Aritmetică vs Geometrică – Când să Folosești Care?

Când folosești Media Aritmetică:

1. Pentru mărimi aditive: distanțe, timp, bani
2. Pentru calculul notelor medii în școală
3. Pentru temperatura medie zilnică/lunară
4. Pentru venitul mediu pe gospodărie
5. Când valori extreme sunt relevante

Exemplu practic:

Ai mers 3 zile: 10km, 15km, 20km
Distanța medie zilnică = (10+15+20)/3 = 15km/zi (MA)

Când folosești Media Geometrică:

1. Pentru rate de creștere: dobânzi, investiții
2. Pentru rapoarte: scale hărți, dimensiuni relative
3. Pentru progresii geometrice
4. În geometrie: latura pătratului cu aceeași arie ca dreptunghi
5. Când valori extreme ar distorsiona analiza

Exemplu practic:

O investiție crește: anul 1: +50%, anul 2: -20%
Rata medie anuală = √(1.5 × 0.8) - 1 = √1.2 - 1 ≈ 1.095 - 1 = 9.5% (MG)
(NU (50-20)/2 = 15%!)

6. Media Geometrică în Progresii

Într-o progresie geometrică:

Fie a₁, a₂, …, aₙ termenii unei progresii geometrice cu rația r.

MG(a₁, aₙ) = √(a₁ × aₙ) = termenul din mijloc (dacă n e impar)

Exemplu: Progresia: 2, 4, 8, 16, 32

MG(2, 32) = √(2×32) = √64 = 8 (al treilea termen)

Într-o progresie aritmetică:

Fie a₁, a₂, …, aₙ termenii unei progresii aritmetice.

MA(a₁, aₙ) = (a₁ + aₙ)/2 = termenul din mijloc (dacă n e impar)

7. Aplicații Practice – De ce Chiar Îți Pasă?

Aplicații ale Mediei Aritmetice:

1. În statistică:

• Salariul mediu pe economie
• Vârsta medie a populației
• Media notelor unei clase

2. În sport:

• Media golurilor pe meci
• Viteza medie într-o cursă
• Media punctelor pe sezon

3. În știință:

• Temperatura medie anuală
• Presiunea arterială medie
• Consumul mediu de energie

Aplicații ale Mediei Geometrice:

1. În finanțe:

• Rata medie anuală de creștere a investițiilor
• Randamentul mediu al unui portofoliu
• Calculul dobânzii compuse

2. În biologie:

• Rata de creștere a populațiilor
• Timpul de înjumătățire al substanțelor radioactive
• Diluții seriale

3. În tehnologie:

• Scările logaritmice (decibeli, pH)
• Rezoluția medie în procesarea imaginilor
• Rate de compresie

8. Probleme Rezolvate Pas cu Pas

Problema 1: Notele elevului

Ion a luat notele: 7, 8, 9, 10, 6. Care este media sa?

Rezolvare:

MA = (7 + 8 + 9 + 10 + 6) / 5 = 40 / 5 = 8

Problema 2: Investiția

O investiție crește 20% în primul an, apoi scade 10% în al doilea an. Care este rata medie anuală de creștere?

Rezolvare:

Factorii de creștere: 1.20 și 0.90
MG = √(1.20 × 0.90) = √1.08 ≈ 1.03923
Rata medie = 1.03923 - 1 = 0.03923 = 3.923%

Problema 3: Dreptunghi și pătrat

Un dreptunghi are laturile 4 cm și 9 cm. Care este latura pătratului care are aceeași arie?

Rezolvare:

Aria dreptunghi = 4 × 9 = 36 cm²
Latura pătrat = √36 = 6 cm (MG între 4 și 9!)

9. Alte Tipuri de Medii (Bonus!)

Media Armonică:

MH = n / (1/a₁ + 1/a₂ + ... + 1/aₙ)

Aplicație: Viteza medie pe parcursul întregii distanțe

Exemplu: Mergi cu 60 km/h dus, 40 km/h întors

Viteza medie = MH(60, 40) = 2/(1/60 + 1/40) = 2/(0.0167+0.025) = 2/0.0417 ≈ 48 km/h
(NU (60+40)/2 = 50 km/h!)

Media Pătratică:

MP = √[(a₁² + a₂² + ... + aₙ²)/n]

Aplicație: Valoarea efectivă în curent alternativ

10. Relația dintre MA, MG, MH (pentru două numere)

Pentru a, b > 0:

MH ≤ MG ≤ MA

Și: MG² = MA × MH

Demonstrație:

MH = 2/(1/a + 1/b) = 2ab/(a+b)
MG = √(ab)
MA = (a+b)/2
Se verifică ușor că MH ≤ MG ≤ MA

11. Capcane și Greșeli Frecvente

Capcana 1: MG pentru numere negative

GREȘIT: MG(-2, -8) = √(16) = 4 ✗
CORECT: MG are sens doar pentru numere pozitive! ✓

Capcana 2: Media ratelor de creștere

GREȘIT: Creștere 50%, scădere 50% → medie 0% ✗
CORECT: Factorii: 1.5 și 0.5 → MG = √(1.5×0.5) = √0.75 ≈ 0.866 → -13.4% ✓

Capcana 3: Viteza medie

GREȘIT: Dus 60 km/h, întors 40 km/h → medie 50 km/h ✗
CORECT: MH(60,40) = 48 km/h ✓

Capcana 4: Media notelor ponderate greșit

GREȘIT: Teza 9 (coef 2), oral 7 (coef 1) → (9×2 + 7×1)/2 = (18+7)/2 = 12.5 ✗
CORECT: (9×2 + 7×1)/(2+1) = (18+7)/3 = 25/3 ≈ 8.33 ✓

Concluzie: Să-ți spun ceva direct

Mediile aritmetică și geometrică nu sunt doar două formule diferite. Ele reprezintă două filosofii diferite de a rezuma datele: aditivă vs multiplicativă, liniară vs exponențială.

Cele mai multe greșeli vin din aplicarea mediei aritmetice acolo unde ar trebui geometrică (mai ales la rate de creștere) sau din uitarea că media geometrică necesită numere pozitive.

Așa că ia o foaie și rezolvă acum:

1. Calculează MA și MG pentru 2, 4, 8
2. O investiție: anul 1 +25%, anul 2 -15%. Care e rata medie anuală?
3. Un dreptunghi are arie 24 m². Dacă raportul laturilor este 2:3, care sunt lungimile?

Verifică-ți răspunsurile:

1. MA = (2+4+8)/3 = 14/3 ≈ 4.67; MG = ³√(2×4×8) = ³√64 = 4
2. MG = √(1.25×0.85) = √1.0625 ≈ 1.0308 → 3.08%
3. Fie laturile 2x și 3x: Aria = 6x² = 24 → x² = 4 → x = 2 → laturile: 4m și 6m

Pentru că matematica mediilor e ca arta perspectivelor: uneori trebuie să vezi liniar (MA), alteori exponențial (MG). Fiecare perspectivă îți dezvăluie altceva despre datele tale.

Sfat de final: Când analizezi rate de creștere sau rapoarte, folosește întotdeauna media geometrică. Când analizezi sume sau diferențe, folosește media aritmetică. Și niciodată nu uita: MH ≤ MG ≤ MA – asta e ordinea naturală a lucrurilor pentru numere pozitive!

Bun, hai să vorbim despre un subiect care transformă numerele negative în pozitive cu o simplă mișcare de pix. Modulul. Nu e doar două linii verticale în jurul unui număr. E modalitatea matematică de a vorbi despre “distanța de la zero”, despre magnitudine fără semn, despre valoarea absolută. E un concept atât de elegant încât, odată ce-l înțelegi, îți simplifică dramatic rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor. Dar aici intervine și partea subtilă: definiția pe ramuri, proprietățile și aplicațiile care fac din modul o unealtă puternică.

1. Ce e Modulul? (Spoiler: Nu e Doar să Îndepărtezi Semnul Minus)

Gândește-te la el ca la distanța de la un număr până la zero pe axa numerelor. Ca atunci când spui “cât de departe este, indiferent în ce direcție”.

Definiția oficială: Pentru orice x ∈ ℝ:

|x| = { x, dacă x ≥ 0
       -x, dacă x < 0 }

Traducerea umană: Dacă numărul este pozitiv sau zero, îl lași așa. Dacă este negativ, îi schimbi semnul.

Interpretare geometrică: Distanța de la punctul x la 0 pe axa numerelor.

Exemple fundamentale:

|5| = 5 (pozitiv, rămâne)
|-5| = 5 (negativ, devine pozitiv)
|0| = 0 (zero rămâne zero)
|3.14| = 3.14
|-2.71| = 2.71

Analogie din viața reală:

• Temperatura: -5°C și 5°C au aceeași “magnitudine absolută” de 5 grade
• Datorii: Datoria de 100 lei are aceeași “valoare absolută” ca și averea de 100 lei
• Distanțe: 5 km nord și 5 km sud sunt la aceeași distanță

2. Proprietățile Fundamentale ale Modulului

Aceste proprietăți sunt esențiale pentru a lucra eficient cu modul!

1. |x| ≥ 0 pentru orice x ∈ ℝ

Modulul este întotdeauna nenegativ!

|5| = 5 ≥ 0 ✓
|-3| = 3 ≥ 0 ✓
|0| = 0 ≥ 0 ✓

2. |x| = 0 dacă și numai dacă x = 0

Singurul număr cu modulul zero este zero însuși.

|x| = 0 ↔ x = 0

3. |-x| = |x| (simetrie)

Numărul și opusul său au același modul.

|-7| = |7| = 7
|-(−3)| = |3| = 3 (dubla negare!)

4. |x| = |-x| = max{x, -x}

Modulul este maximul dintre număr și opusul său.

Pentru x = 3: max{3, -3} = 3 = |3|
Pentru x = -4: max{-4, 4} = 4 = |-4|

3. Operații cu Module – Calculul Corect

1. |x × y| = |x| × |y|

Modulul unui produs este produsul modulelor.

|(-3) × 4| = |-12| = 12
|-3| × |4| = 3 × 4 = 12 ✓

2. |x / y| = |x| / |y| (pentru y ≠ 0)

Modulul unui cât este câtul modulelor.

|(-8) / 2| = |-4| = 4
|-8| / |2| = 8 / 2 = 4 ✓

3. |x + y| ≤ |x| + |y| (inegalitatea triunghiului)

Aceasta e cea mai importantă și utilă proprietate!

|3 + 4| = |7| = 7
|3| + |4| = 3 + 4 = 7 (egalitate)
|3 + (-4)| = |-1| = 1
|3| + |-4| = 3 + 4 = 7 (inegalitate strictă)

4. |x – y| ≥ ||x| – |y||

Cea de-a doua inegalitate importantă.

|5 - 3| = |2| = 2
||5| - |3|| = |5 - 3| = |2| = 2 (egalitate)
|5 - (-3)| = |8| = 8
||5| - |-3|| = |5 - 3| = |2| = 2 (inegalitate)

4. Interpretarea Geometrică – Cea Mai Frumoasă Perspectivă

Modulul ca distanță:

• |x| = distanța de la x la 0
• |x – a| = distanța de la x la a
• |x – y| = distanța dintre x și y

Exemple geometrice:

|x| = 3 înseamnă: punctele la distanța 3 de 0 → x = -3 sau x = 3
|x - 2| = 5 înseamnă: punctele la distanța 5 de 2 → x = -3 sau x = 7
|x + 3| = |x - (-3)| = 4: punctele la distanța 4 de -3 → x = -7 sau x = 1

Pe axa numerelor:

|x| = 3:       •–––––|–––––•
              -3     0     3

|x - 2| = 5:   •–––––––––––|–––––––––––•
              -3          2           7

5. Ecuații cu Modul – Rezolvarea Corectă

Acestea sunt cele mai frecvente aplicații ale modulului!

Tipul 1: |x| = a

• Dacă a < 0: NU are soluție (modulul nu poate fi negativ)
• Dacă a = 0: x = 0
• Dacă a > 0: x = a sau x = -a

Exemplu: |x| = 5 → x = 5 sau x = -5

Tipul 2: |x| = |y|

Soluțiile: x = y sau x = -y

Exemplu: |2x – 1| = |x + 3|

Cazul 1: 2x - 1 = x + 3 → x = 4
Cazul 2: 2x - 1 = -(x + 3) → 2x - 1 = -x - 3 → 3x = -2 → x = -2/3

Tipul 3: |expresie| = a (metoda cazurilor)

Scriem fără modul pentru fiecare caz.

Exemplu: |x – 3| = 7

Cazul 1: x - 3 ≥ 0 (x ≥ 3)
x - 3 = 7 → x = 10 (verifică: 10 ≥ 3 ✓)

Cazul 2: x - 3 < 0 (x < 3)
-(x - 3) = 7 → -x + 3 = 7 → -x = 4 → x = -4 (verifică: -4 < 3 ✓)

Tipul 4: |expresie| = expresie

Metoda: |A| = B ↔ (B ≥ 0 și (A = B sau A = -B))

Exemplu: |2x – 1| = x + 2

Condiția: x + 2 ≥ 0 → x ≥ -2
Cazul 1: 2x - 1 = x + 2 → x = 3 (verifică: 3 ≥ -2 ✓)
Cazul 2: 2x - 1 = -(x + 2) → 2x - 1 = -x - 2 → 3x = -1 → x = -1/3 (verifică: -1/3 ≥ -2 ✓)

6. Inecuații cu Modul – Mai Subtile Decât Par

Tipul 1: |x| < a

• Dacă a ≤ 0: NU are soluție
• Dacă a > 0: -a < x < a

Exemplu: |x| < 4 → -4 < x < 4
Reprezentare: (-4, 4) interval deschis

Tipul 2: |x| ≤ a

• Dacă a < 0: NU are soluție
• Dacă a ≥ 0: -a ≤ x ≤ a

Exemplu: |x| ≤ 4 → -4 ≤ x ≤ 4
Reprezentare: [-4, 4] interval închis

Tipul 3: |x| > a

• Dacă a < 0: x ∈ ℝ (totdeauna adevărat)
• Dacă a ≥ 0: x < -a sau x > a

Exemplu: |x| > 3 → x < -3 sau x > 3
Reprezentare: (-∞, -3) ∪ (3, ∞)

Tipul 4: |x| ≥ a

• Dacă a ≤ 0: x ∈ ℝ
• Dacă a > 0: x ≤ -a sau x ≥ a

Exemplu: |x| ≥ 3 → x ≤ -3 sau x ≥ 3
Reprezentare: (-∞, -3] ∪ [3, ∞)

7. Metoda Generală pentru Inecuații Complexe

Pentru |expresie| ○ a, unde ○ este <, ≤, >, ≥:

Pas cu pas:

1. Determină punctele critice (unde expresia din modul = 0)
2. Împarte axa reală în intervale folosind punctele critice
3. Rezolvi inecuația pe fiecare interval (fără modul)
4. Intersectezi soluțiile cu intervalul respectiv
5. Reunioni toate soluțiile

Exemplu: |x – 2| < 5

Metoda geometrică: distanța de la x la 2 este mai mică decât 5
-5 < x - 2 < 5
Adunăm 2: -3 < x < 7
Soluția: (-3, 7)

8. Module de Expresii Complexe

1. |A × B| = |A| × |B|

|(x-2)(x+3)| = |x-2| × |x+3|

2. |A/B| = |A|/|B| (B ≠ 0)

|(x-1)/(x+2)| = |x-1|/|x+2|

3. |A²| = |A|² = A² (important!)

|(x-3)²| = (x-3)² (pătratul e întotdeauna nenegativ)

9. Aplicații Practice – Unde Întâlnești Modulul

1. În geometrie:

• Distanța dintre două puncte: d = |x₂ – x₁|
• Coordonate absolute în plan

2. În fizică:

• Mărimi care sunt întotdeauna pozitive (distanțe, timp, mase)
• Valoarea absolută a vitezei (viteza ca scalar)
• Diferențe de potențial

3. În economie:

• Abateri de la medie
• Diferențe absolute între valori
• Analiza erorilor

4. În viața de zi cu zi:

• Diferența de vârstă: |vârsta_mea – vârsta_ta|
• Abaterea de la temperatura ideală
• Eroarea de măsurare

5. Pentru BAC:

• Rezolvarea ecuațiilor și inecuațiilor cu modul
• Probleme de geometrie analitică
• Optimizare

10. Probleme Rezolvate Pas cu Pas

Problema 1: Rezolvă |2x – 5| = 7

Rezolvare:

Cazul 1: 2x - 5 = 7 → 2x = 12 → x = 6
Cazul 2: 2x - 5 = -7 → 2x = -2 → x = -1
Soluții: x = 6 sau x = -1

Problema 2: Rezolvă |x + 3| < 4

Rezolvare:

-4 < x + 3 < 4
Scădem 3: -4 - 3 < x < 4 - 3
-7 < x < 1
Soluția: (-7, 1)

Problema 3: Rezolvă |x – 1| ≥ |2x + 1|

Rezolvare:

Ridicăm la pătrat (ambele părți sunt nenegative):
(x - 1)² ≥ (2x + 1)²
x² - 2x + 1 ≥ 4x² + 4x + 1
0 ≥ 3x² + 6x
3x² + 6x ≤ 0
3x(x + 2) ≤ 0
Soluția: -2 ≤ x ≤ 0

11. Capcane și Greșeli Frecvente

Capcana 1: |x| = -a are soluții dacă a < 0

GREȘIT: |x| = -3 are soluții ✗
CORECT: |x| = -3 NU are soluții (modulul nu poate fi negativ) ✓

Capcana 2: |x + y| = |x| + |y| întotdeauna

GREȘIT: |(-3) + 4| = |-3| + |4| ✗
CORECT: |(-3) + 4| = |1| = 1, dar |-3| + |4| = 7 ✓
Corect: |x + y| ≤ |x| + |y| (inegalitatea triunghiului)

Capcana 3: |x – a| = a – x întotdeauna

GREȘIT: |x - 5| = 5 - x pentru orice x ✗
CORECT: |x - 5| = {x - 5 dacă x ≥ 5, 5 - x dacă x < 5} ✓

Capcana 4: Rezolvarea greșită a inecuațiilor

GREȘIT: |x| < -2 are soluție ✗
CORECT: |x| < -2 NU are soluție ✓

Concluzie: Să-ți spun ceva direct

Modulul nu este doar o “ștergere a semnului minus”. Este un instrument matematic sofisticat pentru a lucra cu distanțe, magnitudini și valori absolute. El face legătura perfectă între algebra abstractă și geometria intuitivă.

Cele mai multe greșeli vin din uitarea că modulul este întotdeauna nenegativ sau din aplicarea greșită a proprietăților (mai ales inegalitatea triunghiului).

Așa că ia o foaie și rezolvă acum:

1. |3x – 2| = 10
2. |x + 4| ≤ 6
3. |2x – 1| > 5

Verifică-ți răspunsurile:

1. 3x-2=10 → x=4; 3x-2=-10 → x=-8/3 → x=4 sau x=-8/3
2. -6 ≤ x+4 ≤ 6 → -10 ≤ x ≤ 2 → [-10, 2]
3. 2x-1 > 5 → x > 3; sau 2x-1 < -5 → x < -2 → (-∞, -2) ∪ (3, ∞)

Pentru că matematica modulului e ca arta vederii dublu: vezi atât valoarea algebrică (cu semn), cât și valoarea geometrică (distanța). Cele mai elegante soluții folosesc interpretarea geometrică – transformă ecuațiile și inecuațiile în probleme de distanțe pe axa numerelor.

Sfat de final: Când lucrezi cu modul, gândește-te întotdeauna geometric. Transformă |x – a| în “distanța de la x la a”. O să vezi că multe probleme devin mult mai intuitive. Și nu upta: modulul e ca o centură de siguranță – te protejează de negativitate!