Fracții Ordinare: Arta de a Împărți – Materie EN

Bun, hai să vorbim despre un subiect care îi sperie pe mulți, dar care e de fapt cel mai intuitiv concept matematic din lume. Fracțiile. Nu sunt doar niște numere cu linie între ele. Sunt modalitatea perfectă de a descrie părți din întreg, de a măsura ceva care nu e “întreg”.

1. Ce e o Fracție? (Spoiler: Nu e Doar un Număr Rupt)

Gândește-te la ea ca la o modalitate de a împărți ceva în părți egale și de a vorbi despre unele dintre aceste părți.

Definiția oficială: O fracție este un număr de forma a/b, unde a și b sunt numere întregi, b ≠ 0.
Traducerea umană: Ai un întreg, îl împarți în b părți egale, și iei a dintre aceste părți.

Terminologie importantă:

• a = numărătorul (câte părți luăm)
• b = numitorul (în câte părți am împărțit întregul)
• Linia de fracție = semnul de împărțire elegant

Exemple din viața reală:

• 1/2 pizza = jumătate de pizza
• 3/4 de oră = 45 de minute
• 2/3 din clasă = două treimi din elevii clasei

Reprezentare vizuală:

1/4: 🍰 (o felie dintr-un tort împărțit în 4)
3/4: 🍰🍰🍰 (trei felii)

2. Tipuri de Fracții – Familie Diversă

Fracții subunitare (numărătorul < numitorul): Valoarea < 1

1/2, 2/3, 3/5 - părți mai mici decât întregul

Fracții echiunitare (numărătorul = numitorul): Valoarea = 1

2/2, 5/5, 10/10 - exact un întreg

Fracții supraunitare (numărătorul > numitorul): Valoarea > 1

3/2, 5/3, 7/4 - mai mult decât un întreg

Fracții ireductibile (cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului este 1)

2/3, 5/7, 11/13 - nu se mai pot simplifica

Fracții zecimale finite (se pot scrie exact ca numere zecimale)

1/2 = 0.5, 3/4 = 0.75, 2/5 = 0.4

3. Amplificarea Fracțiilor – Când Înmulțim sus și jos cu Același Număr

Definiție: Înmulțim atât numărătorul cât și numitorul cu același număr nenul.

Formula: a/b = (a×k)/(b×k) pentru k ≠ 0

Exemplu:

2/3 amplificată cu 4: (2×4)/(3×4) = 8/12

De ce facem asta? Pentru a aduce fracții la același numitor!

Compară 1/2 și 2/3:
Amplifică 1/2 cu 3: 3/6
Amplifică 2/3 cu 2: 4/6
Acum vedem clar că 2/3 > 1/2 (4/6 > 3/6)

Regula de aur: Valoarea fracției NU se schimbă la amplificare!

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = ... = 0.5

4. Simplificarea Fracțiilor – Când Simplificăm viața

Definiție: Împărțim atât numărătorul cât și numitorul la același divizor comun.

Formula: a/b = (a÷d)/(b÷d) pentru d divizor comun

Exemplu:

8/12 simplificată cu 4: (8÷4)/(12÷4) = 2/3

Cum simplificăm corect:

1. Găsim CMMDC al numărătorului și numitorului
2. Împărțim ambele la CMMDC
3. Obținem fracția ireductibilă

Exemplu complet: Simplifică 24/36

CMMDC(24, 36) = 12
24/36 = (24÷12)/(36÷12) = 2/3

Verificare: 24/36 = 0.666…, 2/3 = 0.666… ✓

5. Fracții Echivalente – Numere cu Costume Diferite

Definiție: Două fracții sunt echivalente dacă reprezintă același număr.

Cum verificăm? Produsul încrucișat!

a/b = c/d dacă și numai dacă a × d = b × c

Exemple:

1/2 = 2/4 pentru că 1×4 = 2×2 = 4 ✓
3/5 = 6/10 pentru că 3×10 = 5×6 = 30 ✓
2/3 ≠ 3/4 pentru că 2×4 = 8 dar 3×3 = 9 ✗

Regula practică: Dacă amplifici sau simplifici o fracție, obții o fracție echivalentă!

6. Compararea Fracțiilor – Cine e Mai Mare?

Metoda 1: Același numitor (cea mai sigură)
Aducem fracțiile la același numitor, apoi comparăm numărătorii.

Exemplu: Compară 2/3 și 3/4

CMMMC(3,4) = 12
2/3 = 8/12 (amplificată cu 4)
3/4 = 9/12 (amplificată cu 3)
9/12 > 8/12, deci 3/4 > 2/3

Metoda 2: Produsul încrucișat

Compară a/b și c/d:
Dacă a×d > b×c, atunci a/b > c/d
Dacă a×d < b×c, atunci a/b < c/d

Exemplu: Compară 2/3 și 3/5

2×5 = 10
3×3 = 9
10 > 9, deci 2/3 > 3/5

Metoda 3: Transformare în zecimale

2/3 ≈ 0.666...
3/5 = 0.6
0.666 > 0.6, deci 2/3 > 3/5

7. Operații cu Fracții – Bazele Calculului Fracționar

Adunarea și Scăderea

Regula: Fracțiile trebuie să aibă același numitor!

Pași:

1. Aducem la același numitor (CMMMC)
2. Adunăm/scădem numărătorii
3. Păstrăm numitorul comun
4. Simplificăm rezultatul (dacă se poate)

Exemplu: 1/2 + 1/3

CMMMC(2,3) = 6
1/2 = 3/6
1/3 = 2/6
3/6 + 2/6 = 5/6

Exemplu cu scădere: 3/4 – 1/6

CMMMC(4,6) = 12
3/4 = 9/12
1/6 = 2/12
9/12 - 2/12 = 7/12

Înmulțirea

Regula simplă: Înmulțim numărătorii între ei și numitorii între ei.

Formula: (a/b) × (c/d) = (a×c)/(b×d)

Exemplu: 2/3 × 3/5 = (2×3)/(3×5) = 6/15 = 2/5 (simplificată)

Sfat important: Simplifică înainte de a înmulți, dacă este posibil!

2/3 × 3/5: simplifică 3 cu 3 = 2/1 × 1/5 = 2/5

Împărțirea

Regula: Înmulțim prima fracție cu inversa celei de-a doua.

Formula: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (a×d)/(b×c)

Exemplu: 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6

Regula mnemonică: “Împărțirea e ca înmulțirea cu dosul”

8. Fracții și Numere Mixte

Număr mixt = parte întreagă + fracție

2 1/3 = 2 + 1/3 = 7/3

Cum transformăm fracție supraunitară în număr mixt:

7/3 = 7 ÷ 3 = 2 rest 1 = 2 1/3

Cum transformăm număr mixt în fracție:

2 1/3 = (2×3 + 1)/3 = 7/3

9. Aplicații Practice – De ce Chiar Îți Pasă?

1. În bucătărie – Rețete:

Rețetă pentru 4 persoane, dar ești doar 2?
Împarte toate ingredientele la 2 = înmulțești cu 1/2

2. În economie – Reduceri:

Reducere de 25% = plătești 75% = 75/100 = 3/4 din preț

3. În statistică – Procente:

60% din elevii clasei = 60/100 = 3/5

4. Pentru BAC:

• Rezolvarea ecuațiilor cu fracții
• Probleme de aritmetică
• Calcule algebrice

10. Probleme Rezolvate Pas cu Pas

Problema 1: Calculează: 2/3 + 1/4 – 1/6

Rezolvare:

CMMMC(3,4,6) = 12
2/3 = 8/12
1/4 = 3/12
1/6 = 2/12
8/12 + 3/12 - 2/12 = 9/12 = 3/4

Problema 2: Simplifică maxim: 84/126

Rezolvare:

CMMDC(84, 126) = 42
84/126 = (84÷42)/(126÷42) = 2/3

Problema 3: Compară fără a calcula zecimale: 7/8 și 8/9

Rezolvare:

Produsul încrucișat:
7×9 = 63
8×8 = 64
63 < 64, deci 7/8 < 8/9

11. Capcane și Greșeli Frecvente

Capcana 1: Adunarea numitorilor

GREȘIT: 1/2 + 1/3 = 2/5 ✗
CORECT: 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6 ✓

Capcana 2: Simplificarea greșită

GREȘIT: (a+b)/(a+c) = b/c ✗
CORECT: NU se simplifică așa! ✗

Capcana 3: Semnul minus

GREȘIT: -1/2 = 1/-2 (tehnic corect dar evităm) ✓
PREFERABIL: -1/2 sau 1/(-2) se scrie ca -1/2 ✓

În concluzie:

Fracțiile nu sunt o bătaie de cap, ci o unealtă extraordinară de a descrie lumea reală. În viața de zi cu zi, lucrurile rareori sunt “întregi” – suntem mereu între valori întregi.

Cele mai multe greșeli cu fracțiile vin din graba de a calcula fără a aduce la același numitor la adunare/scădere, sau din încercarea de a simplifica termeni adunați (ceea ce NU se face!).

Așa că ia o foaie și rezolvă acum:

1. 3/4 + 2/5 – 1/10
2. (2/3) × (9/4) ÷ (3/2)
3. Simplifică maxim: 72/108

Verifică-ți răspunsurile:

1. 3/4 + 2/5 – 1/10 = 15/20 + 8/20 – 2/20 = 21/20
2. (2/3) × (9/4) × (2/3) = (2×9×2)/(3×4×3) = 36/36 = 1
3. 72/108 = (72÷36)/(108÷36) = 2/3

Pentru că matematica fracțiilor e ca arta bucătăriei: trebuie să urmezi rețeta corect (regulile), să amesteci ingredientele în ordinea potrivită (ordinea operațiilor), și să simplifici unde se poate (ca să ai un rezultat elegant).