Funcții: Magia Transformărilor din Lumea Reală!

Bun venit la capitolul unde matematică devine magie aplicată! Dacă șirurile erau cozi ordonate, funcțiile sunt mașinării de transformat care iau ceva la intrare și dau altceva la ieșire. E ca un filtru Instagram pentru numere! 📸

1. Ce e o Funcție? “Mașina cu intrare și ieșire”

Definiție oficială: O funcție e o relație între două mulțimi A și B care asociază fiecărui element din A exact un element din B.

Definiție pe TikTok: Funcția = VENDING MACHINE cu reguli fixe!

Intrare: bagi o monedă (element din A)
Ieșire: primești exact un produs (element din B)
Regulă: Aceeași monedă = același produs mereu!

GRAFIC TEXT - MAȘINA FUNCȚIE:
┌─────────────────────────────────────┐
│          F U N C Ț I A              │
│                                     │
│ INTRARE:                           │
│ ● Monedă de 1 leu   ────────→      │
│ ● Monedă de 5 lei   ────────→      │  ┌─────┐
│ ● Monedă de 10 lei  ────────→      │  │??? │  → Ieșire unică
│                                     │  └─────┘
│   (Mulțimea A)     │││││││││││││   │   (Mulțimea B)
└─────────────────────────────────────┘

REGLĂ: Fiecare intrare → exact o ieșire!

Exemple din viața reală:

Mașina de cafea: Bagi 5 lei → 1 espresso (nu poți primi espresso și capuccino!)
Nota la BAC: Media ta (intrare) → Nota finală (ieșire)
Vârsta în om-ani: Vârsta ta în ani (intrare) → Echiivalentul în câini (ieșire) 🐕

NOTAȚIE:

( f: A → B ) se citește “f definită de la A la B”
( f(x) = y ) se citește “f de x este egal cu y”

x = element din A = variabilă independentă = INTRARE
y = element din B = variabilă dependentă = IEȘIRE
A = domeniul de definiție = mulțimea intrărilor permise
B = codomeniul = mulțimea posibilelor ieșiri

2. Modalități de Descriere a Funcțiilor – “4 moduri de a spune același lucru”

1. Prin diagrame cu săgeți – “Cine merge cu cine”

    A              B
    ●───────→ ●    Ana → Pizza
    ●───────→ ●    Ion → Burger
    ●───────→ ●    Maria → Pizza

Observație: Mai mulți pot merge la același (Pizza), dar nimeni nu merge la două!

2. Prin tabel – “Meniu cu preț fix”

x (Intrare) │ f(x) (Ieșire)
────────────┼──────────────
    -2      │     4
     0      │     0
     3      │     9

Asta e funcția ( f(x) = x^2 ) pentru aceste valori!

3. Prin formulă – “Rețeta matematică”

( f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x + 3 )
Interpretare: Oricare ar fi x-ul, îl înmulțești cu 2 și adaugi 3.

4. Prin descriere verbală – “Povestea funcției”

“Funcția care asociază fiecărui număr real dublul său mărit cu 3.”

3. Produsul Cartesian – “Toate cuplurile posibile”

Definiție: Produsul cartezian A × B = mulțimea tuturor perechilor ordonate (a, b) cu a∈A și b∈B.

Analogia perfectă: Meniu restaurant × Băuturi

A = {Pizza, Paste, Salată}
B = {Cola, Apă, Suc}
A × B = toate combinațiile posibile!

A × B = {
 (Pizza, Cola), (Pizza, Apă), (Pizza, Suc),
 (Paste, Cola), (Paste, Apă), (Paste, Suc),
 (Salată, Cola), (Salată, Apă), (Salată, Suc)
}

Total: 3×3 = 9 combinații posibile!

Regula de numărare: Dacă A are m elemente și B are n elemente, atunci A×B are m×n elemente.

4. Reper Cartezian & Reprezentare prin Puncte – “Google Maps al matematicii”

Sistemul de coordonate = cel mai tare instrument din matematică! E ca o hărțuire a planului.

Cum funcționează:

Desenezi două drepte perpendiculare care se intersectează în O(0,0)
Orizontală = axa Ox (abscise)
Verticală = axa Oy (ordonate)
Orice punct P are coordonate (x, y)

GRAFIC TEXT - REPER CARTEZIAN:
        y
        │
        │    ● P(3,4)
        │     \
        │      \
        │       \
────────┼────────┼─────── x
        │O(0,0) 3
        │
        │

Punctul P: x=3 (mergi 3 la dreapta), y=4 (mergi 4 în sus)

Importanță: Această reprezentare transformă funcțiile abstracte în forme vizibile!

5. Graficul unei Funcții – “Fotografia funcției”

Definiție: Graficul lui f = mulțimea tuturor punctelor (x, f(x)) cu x∈A.

Traducere: Faci poze la toate intrările cu ieșirile lor și pui pozele pe o hartă!

Exemplu: ( f(x) = x^2 )

Pentru x = -2 → f(-2) = 4 → punctul (-2, 4)
Pentru x = 0 → f(0) = 0 → punctul (0, 0)
Pentru x = 3 → f(3) = 9 → punctul (3, 9)

TESTUL LINIEI VERTICALE (super important!):

O curbă din plan este graficul unei funcții dacă și numai dacă orice linie verticală o intersectează în cel mult un punct.

GRAFIC TEXT - TEST LINIE VERTICALĂ:
Este funcție:      Nu este funcție:
    │                 │
    │   ●             │       ●
    │   │             │      ╱│╲
────┼───●─────    ────┼─────●─┼─●────
    │                 │      ╲│╱
    │                 │       ●
    │                 │
Linia verticală      Linia verticală
taie DOAR un punct  taie DOUĂ puncte!

6. Egalitatea Funcțiilor – “Când două funcții sunt gemene identice”

Două funcții f și g sunt EGALE dacă:

Au același domeniu de definiție (aceeași mulțime A)
( f(x) = g(x) ) pentru orice x din A

Exemplu 1: ( f(x) = x^2 ) și ( g(x) = x·x ) sunt egale pe ℝ

Exemplu 2: ( f(x) = \frac{x^2 – 1}{x – 1} ) și ( g(x) = x + 1 ) NU sunt egale!

De ce? Pentru că f nu e definită în x=1 (împărțire la 0)
Dar g e definită peste tot
Ele sunt egale doar pe ℝ{1}

Important: Nu contează cum arată formula, contează ce iese pentru fiecare intrare!

7. Compunerea Funcțiilor – “Lanțul de transformări”

Compunerea = aplici două funcții una după alta, ca într-o fabrică cu două mașinii!

Notație: ( (g \circ f)(x) = g(f(x)) )

Citesc: “g compus cu f de x” = aplici mai întâi f pe x, apoi g pe rezultat!

Analogia perfectă: Fabricarea unui hamburger

f = prăjește carnea: Carne crudă → Carne prăjită
g = asamblează hamburgerul: Carne prăjită → Hamburger complet

( (g \circ f) )(“carne crudă”) = g(f(“carne crudă”)) = g(“carne prăjită”) = “hamburger complet”

Exemplu matematic:
Fie ( f(x) = 2x ) și ( g(x) = x + 3 )
( (g \circ f)(5) = g(f(5)) = g(2×5) = g(10) = 10 + 3 = 13 )

Ordinea contează CRUCIAL!

( (g \circ f)(x) ) ≠ ( (f \circ g)(x) ) în general!

Verificăm:
( (f \circ g)(5) = f(g(5)) = f(5+3) = f(8) = 2×8 = 16 )
13 ≠ 16 deci compunerea nu e comutativă!

Exemplu real: Convertor valutar + cumpărături

f = convertește EUR în RON: f(EUR) = EUR × 5
g = calculează TVA: g(lei) = lei × 1.19 (adaugă 19% TVA)

Ai 100 EUR:
( (g \circ f)(100) = g(f(100)) = g(100×5) = g(500) = 500×1.19 = 595 ) RON cu TVA

Diagramă de compunere:

        f          g
x ───────→ f(x) ───────→ g(f(x))
       (prima      (a doua
       mașină)     mașină)

8. Aplicații Practice – “De la viața reală la BAC”

Problema 1: Sistemul de notare

Profesorul are două funcții:

f(mediă) = rotunjește la cel mai apropiat întreg
g(notă) = adaugă 1 punct pentru participare

Ce notă primește un elev cu media 8.7?
( (g \circ f)(8.7) = g(f(8.7)) = g(9) = 9+1 = 10 )

Problema 2: Rabat + TVA la mall

f(preț) = aplică 20% reducere: f(x) = 0.8x
g(preț) = adaugă TVA 19%: g(x) = 1.19x

Un produs costă 500 lei:
Cu reducere și apoi TVA: ( g(f(500)) = g(400) = 476 ) lei
Cu TVA și apoi reducere: ( f(g(500)) = f(595) = 476 ) lei? Să calculăm:
( f(g(500)) = f(1.19×500) = f(595) = 0.8×595 = 476 ) lei

Surpriză! În acest caz a ieșit la fel pentru că operațiile sunt una inversa alteia!

CONCLUZIE FINALĂ – “DE CE FUNCȚIILE SUNT SUPER-PUTERILE MATEMATICII”

Funcțiile sunt limbajul schimbării și transformării în univers! De ce să le înveți?

Modelează lumea reală: Orice proces (creștere economică, răcirea cafelei, difuzia unei epidemii) poate fi descris cu funcții
Sunt predictibile: Știi exact ce ieșire primești pentru fiecare intrare
Sunt vizuale: Graficul îți arată “fața” funcției

Cheie pentru BAC:

Verifică mereu domeniul de definiție (unde funcția are sens)
Pentru egalitate: aceeași formulă ≠ aceeași funcție! Trebuie același domeniu
La compunere: aplică de la dreapta la stânga: ( g(f(x)) ) = f mai întâi, apoi g
Graficul = cel mai bun prieten – arată tot!

Reguli de aur:
✅ O funcție = o mașinie care dă o singură ieșire pentru fiecare intrare
✅ Graficul funcției trece testul liniei verticale
✅ Compunerea = aplici funcții în lanț, ca o fabrică
✅ Două funcții sunt egale dacă fac același lucru peste tot pe același domeniu

Imagine finală pentru memorare:
Gândește-te la funcții ca la filtre Instagram succesive:

Poza originală = x
f = aplică filtru “Sepia”
g = aplică filtru “Brighness +”
( g \circ f ) = sepia și apoi luminozitate
( f \circ g ) = luminozitate și apoi sepia → REZULTAT DIFERIT!

Matematica nu e doar numere, e gândire structurală. Funcțiile te învață să vezi relații, transformări și dependențe. Și când înțelegi cum se transformă lucrurile, înțelegi esența schimbării în univers!

Și amintește-ți: În viața reală, ești rezultatul compunerii a mii de “funcții” – educație, experiență, mediu. Alege-ți cu înțelepciune funcțiile pe care le compui în viața ta! 🚀