Funcții: Mărginire, Monotonie, Paritate – Caracterul Funcțiilor!

Salutare! Dacă până acum am învățat ce sunt funcțiile, azi le vom studia PERSONALITATEA! O funcție poate fi timidă (mărginită), ambițioasă (crescătoare), extravagantă (descrescătoare) sau chiar rebelă (impară)! Hai să le cunoaștem mai bine!

1. Funcții Mărginite – “Funcțiile cu Garduri”

O funcție mărginită e ca un copil cu părinți stricti: are limite clare și nu poate ieși din ele!

Definiție:

f este mărginită pe A dacă există două numere reale m și M astfel încât:
( m \leq f(x) \leq M ) pentru orice x ∈ A

Traducere: Toate valorile funcției stau într-un interval închis, nu fug la infinit!

GRAFIC TEXT - FUNCȚIE MĂRGINITĂ:
            y
            │
           M├─────────────────  "Tavanul"
            │    ┌──────┐
            │    │      │
            │    │      │
────────────┼────│──────│──── x
            │    │      │
            │    │      │
           m├────┴──────┘     "Pardoseala"
            │
            │

Tipuri de mărginire:

1. Mărginită SUPERIOR (are tavan)

Există M astfel încât ( f(x) \leq M ) pentru orice x

Exemplu real: Nota maximă la BAC = 10
f(elev) = nota la BAC
Toți elevii au ( f(x) \leq 10 ) (nimeni nu ia peste 10)

Exemplu matematic: ( f(x) = -x^2 )
Valorile sunt ≤ 0 (mereu negative sau zero)
M = 0 este o margine superioară

2. Mărginită INFERIOR (are pardoseală)

Există m astfel încât ( f(x) \geq m ) pentru orice x

Exemplu real: Temperatura în grade Celsius la Polul Nord
f(zi) = temperatura
Toate temperaturile ≥ -50°C (nu scade la infinit)

Exemplu matematic: ( f(x) = x^2 )
Valorile sunt ≥ 0 (mereu pozitive sau zero)
m = 0 este o margine inferioară

3. MărginitĂ (atât sus cât și jos)

Are AMBELE limite! E ca un elevator într-o clădire.

Exemplu perfect: ( f(x) = \sin(x) )

            y
            │
           1├───────────────  Maxim
            │  /\      /\
            │ /  \    /  \
────────────┼/────\──/────\── x
            │      \/      \
          -1├───────────────  Minim
            │

Pentru orice x: ( -1 \leq \sin(x) \leq 1 )
m = -1 (marginea inferioară)
M = 1 (marginea superioară)

Exemplu din viață: Viteza mașinii în oraș
f(timp) = viteza
40 km/h ≥ f(timp) ≥ 0 km/h
(mărginită inferior de 0, superior de 40)

Funcții NEMĂRGINITE – “Rebelii fără limite” 🚀

Spre deosebire, funcțiile nemărginite FUG LA INFINIT!

Exemplu: ( f(x) = x^3 )
Când x → ∞, f(x) → ∞ (fuge sus)
Când x → -∞, f(x) → -∞ (fuge jos)
NU are nici tavan, nici pardoseală!

2. Monotonie – “Funcțiile cu Ambiiție (sau depresie)” 📈📉

Monotonia = direcția în care merge funcția. Crește? Scade? Stă pe loc?

1. Funcție CRESCĂTOARE – “Ambițioasa care urcă mereu” 🧗‍♀️

Definiție: f este crescătoare pe A dacă pentru orice x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)

Regula simplă: Mai mare x ⇒ mai mare sau egal f(x)

Exemplu real: Vechimea vs Salariul (în firme cu senioritate)

x₁ = 1 an vechime → f(x₁) = 3000 lei
x₂ = 5 ani vechime → f(x₂) = 5000 lei
x₃ = 10 ani vechime → f(x₃) = 8000 lei

x crește ⇒ f(x) crește

Exemplu matematic: ( f(x) = 2x + 1 )
Dacă x₁ = 1 → f(1) = 3
Dacă x₂ = 3 → f(3) = 7
3 < 7 ✓

2. Funcție STRICT CRESCĂTOARE – “Ambțioasa care nu stă locului”

Adaugă STRICT: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

Diferența: strict = doar <, nu ≤ (nu sunt egale valori!)

Exemplu: ( f(x) = x^3 ) e strict crescătoare pe ℝ

3. Funcție DESCRESCĂTOARE – “Funcția în regres” 📉

Definiție: f este descrescătoare pe A dacă pentru orice x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)

Regula simplă: Mai mare x ⇒ mai mic sau egal f(x)

Exemplu dramatic: Valoarea mașinii second-hand

Anul 1 (x₁): valoare 20.000€
Anul 3 (x₂): valoare 15.000€
Anul 5 (x₃): valoare 10.000€

x crește ⇒ f(x) scade

Exemplu matematic: ( f(x) = -3x + 4 )
Dacă x₁ = 0 → f(0) = 4
Dacă x₂ = 2 → f(2) = -2
4 > -2 ✓

4. Funcție STRICT DESCRESCĂTOARE

Adaugă STRICT: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

5. Funcție CONSTANTĂ – “Funcția care se relaxează” 😴

Pentru orice x₁, x₂: f(x₁) = f(x₂)

Exemplu: ( f(x) = 5 ) (orice x bagi, iese 5)

            y
            │
           5├───────────────●────────●────────●
            │
            │
────────────┼─────────────────────────────── x
            │
            │

6. Funcție NEMONOTONĂ – “Funcția bipolară” 🌗

Se comportă diferit pe diferite intervale!

Exemplu clasic: ( f(x) = x^2 )
Pe (-∞, 0]: descrescătoare
Pe [0, ∞): crescătoare
Pe tot ℝ: NEMONOTONĂ!

GRAFIC TEXT - MONOTONIE PE INTERVALE:
            y
            │
            │       ↗ (crescătoare)
            │      /
            │     /
            │    /
────────────┼───/──────────── x
            │  /
            │ /
            │↘ (descrescătoare)
            │

3. Paritate/Imparitate – “Funcțiile simetrice” 🎭

Aceste proprietati studiază SIMETRIA față de axa Oy sau originea O.

TESTUL SIMPLU: Înlocuiești x cu -x și vezi ce se întâmplă!

1. Funcție PARĂ – “Simetrică ca o fluture”

Definiție: f este pară dacă ( f(-x) = f(x) ) pentru orice x

Grafic: SIMETRIC față de axa Oy (oglindit vertical)

Exemplu real: Fața umană (aproximativ pară)
Ochiul stâng ≈ ochiul drept (simetrie față de nas)

Exemplu matematic: ( f(x) = x^2 )
Verific: ( f(-3) = 9 ) și ( f(3) = 9 )
Graficul:

            y
            │
           9├─────●───────●
            │   -3│       3
            │     │       │
────────────┼─────┼───────┼──── x
            │     │       │
            │     │       │

Punctele (-3,9) și (3,9) sunt simetrice față de Oy!

2. Funcție IMPARĂ – “Rebelul antisimetric”

Definiție: f este impară dacă ( f(-x) = -f(x) ) pentru orice x

Grafic: SIMETRIC față de ORIGINE (oglindit și pe Ox și pe Oy)

Exemplu real: Funcția “opusa”: f(prieten) = dușman
Dacă x e prieten, f(x) e dușman
Dacă -x e dușman, f(-x) e prieten (opus!)

Exemplu matematic: ( f(x) = x^3 )
Verific: ( f(-2) = -8 ) și ( -f(2) = -8 )
Graficul:

            y
            │
           8├           ● (2,8)
            │         /
            │       /
────────────┼─────/──── x
            │   /
            │ /
-8├● (-2,-8)
            │

Punctele (-2,-8) și (2,8) sunt simetrice față de origine!

3. Funcție NICI PARĂ, NICI IMPARĂ – “Individualista”

Majoritatea funcțiilor sunt așa!

Exemplu: ( f(x) = x^2 + x )
Verific: ( f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 – x )
Aceasta NU e egală nici cu f(x), nici cu -f(x)!

TRUCURI UTILE:

Suma funcțiilor pare = PARĂ
Suma funcțiilor impare = IMPARĂ
Produsul a două pare = PAR
Produsul a două impare = PAR (!!)
Produsul par × impar = IMPAR

4. Aplicații Practice – “De la teorie la BAC” 📚

Problema 1: Analiza unei funcții

Fie ( f(x) = x^3 – 3x )

Mărginire: E mărginită? NU! Când x→∞, f(x)→∞
Monotonie: Derivata f'(x) = 3x² – 3

f'(x) > 0 pentru |x| > 1 ⇒ crescătoare pe (-∞,-1] și [1,∞)
f'(x) < 0 pentru |x| < 1 ⇒ descrescătoare pe [-1,1]

Paritate: f(-x) = (-x)³ – 3(-x) = -x³ + 3x = -(x³ – 3x) = -f(x) ⇒ IMPARĂ!

Problema 2: Funcția de profit a unei firme

f(nr_angajați) = profit

Pentru 0-50 angajați: f CRESCĂTOARE (mai mulți oameni = mai mult profit)
Pentru 50-100 angajați: f CONSTANTĂ (limite de management)
Peste 100 angajați: f DESCRESCĂTOARE (prea multă birocrație)

Aceasta e funcție: NEMONOTONĂ pe întreg domeniul!

Problema 3: Testarea parității rapid

Este ( f(x) = \frac{x^3 + x}{x^4 + 1} ) pară sau impară?
Test: ( f(-x) = \frac{(-x)^3 + (-x)}{(-x)^4 + 1} = \frac{-x^3 – x}{x^4 + 1} = -\frac{x^3 + x}{x^4 + 1} = -f(x) )
⇒ IMPARĂ!

5. Cum recunoști proprietățile din grafic? 👀

GRAFIC TEXT - RECUNOAȘTERE VIZUALĂ:
1. MĂRGINITĂ:          2. NEMĂRGINITĂ:
   y                      y
   │                      │
 M ├──────┐              │        ↗
   │      │              │      /
   │      │              │    /
───┼──────┼── x        ──┼──/──── x
   │      │              │
 m ├──────┘              │↘
   │

3. PARĂ (simetrie Oy):   4. IMPARĂ (simetrie origine):
   y                      y
   │                      │
   │    ●     ●           │         ●
   │ -a │     │ a         │        /
   │    │     │           │      /
───┼────┼─────┼── x     ──┼────/──── x
   │    │     │           │  /
   │    │     │           │/ 
   │                      ●

CONCLUZIE FINALĂ – “DE CE ACESTE PROPRITĂȚI SUNT CHEILE” 🔑

Aceste proprietăți sunt CARTEA DE IDENTITATE a unei funcții! De ce?

MĂRGINIREA te spune dacă funcția e “controlabilă” sau “selbatică”
MONOTONIA îți arată tendința: merge în sus, în jos, sau se învârte?
PARITATEA dezvăluie simetriile ascunse ale funcției

SFATURI PENTRU BAC 🎯:

Pentru mărginire:

Caută limite superioare/inferioare
Funcțiile polinomiale de grad impar sunt NEMĂRGINITE
sin(x), cos(x) sunt MĂRGINITE între -1 și 1

Pentru monotonie:

Folosește DERIVATA: f'(x) ≥ 0 ⇒ crescătoare, f'(x) ≤ 0 ⇒ descrescătoare
Funcțiile liniare (ax+b) sunt monotone pe tot ℝ
Funcțiile de grad 2 (parabolă) sunt NEMONOTONE pe ℝ

Pentru paritate:

TESTUL: calculează f(-x) și compară cu f(x) și -f(x)
Toate puterile pare (x², x⁴…) dau funcții PARE
Toate puterile impare (x, x³…) dau funcții IMPARE
Atenție la DOMENIU: trebuie simetric față de 0!

REGULI DE AUR ✨:

✅ O funcție poate fi și pară, și impară? DA! Doar funcția f(x)=0!
✅ O funcție poate fi și crescătoare, și descrescătoare? DA! Funcțiile constante!
✅ Majoritatea funcțiilor sunt NICI PARE, NICI IMPARE
✅ “Strict” înseamnă fără egalități!

IMAGINE FINALĂ PENTRU MEMORARE 🎨:

Gândește-te la funcții ca la ALPINIȘTI:

Mărginit = alpiniștii cu frânghie (nu cad în abis)
Nemărginit = alpiniștii fără frânghie (riscă să cadă la infinit)
Crescător = urcă muntele
Descrescător = coboară muntele
Constant = stă pe platou
Par = doi alpiniști la aceeași înălțime pe pante opuse
Impar = un alpiniște sus, celălalt jos, pe pante opuse

Matematica nu e doar calcul, e INTUIȚIE VIZUALĂ. Când înțelegi cum “se comportă” o funcție, poți prevedea unde merge fără să calculezi fiecare punct!

Și amintește-ți: În viață, fiecare dintre noi are propriile “mărginiri”, “monotonii” și “simetrii”. Cunoașterea lor ne ajută să ne înțelegem mai bine comportamentul! 🌟