Funcții Trigonometrice – Materie EN și BAC

Bun, hai să vorbim despre cel mai frumos și util set de funcții din toată matematica. Funcțiile trigonometrice. Nu sunt doar niște formule abstracte. Sunt cheia care descrie relațiile dintre unghiuri și laturi în triunghiuri, dar și mișcările circulare, oscilațiile, valurile – practic toate fenomenele periodice din univers! E un concept atât de elegant încât, dacă îl stăpânești, poți să descriemi lumea într-un mod complet nou.

1. Ce Sunt Funcțiile Trigonometrice? (Spoiler: Nu Sunt Doar “sin și cos”)

Gândește-te la ele ca la “traducători” matematici care transformă unghiuri în rapoarte de laturi. Ca atunci când spui “dacă unghiul este atât, atunci partea verticală este atâta din ipotenuză”.

Ideea de bază: Pentru un unghi dat într-un triunghi dreptunghic, există rapoarte fixe între laturile triunghiului. Aceste rapoarte sunt funcții trigonometrice.

2. Definiția în Triunghiul Dreptunghic – Cel Mai Simplu Mod

Într-un triunghi dreptunghic ABC, cu ∡A = 90° și considerând unghiul ascuțit B:

Sinusul (sin):

sin(B) = cateta opusă / ipotenuză = AC / BC

“Cât de înalt este punctul A față de ipotenuză?”

Cosinusul (cos):

cos(B) = cateta alăturată / ipotenuză = AB / BC

“Cât de departe este punctul A pe orizontală față de ipotenuză?”

Tangenta (tan sau tg):

tan(B) = cateta opusă / cateta alăturată = AC / AB

“Cât de abruptă este panta?”

Reprezentare vizuală:

       A
      /|
     / |
    /  |
   /   | AC (opusă lui B)
  /    |
 /_____|
B   AB   C
(alăturată lui B)

sin(B) = AC/BC
cos(B) = AB/BC  
tan(B) = AC/AB

3. Mnemonică Ușoară – SOH-CAH-TOA

Cea mai bună mnemonică pentru a-ți aminti definițiile:

SOH: Sin = Opusă / Hipotenuză
CAH: Cos = Alăturată / Hipotenuză
TOA: Tan = Opusă / Alăturată

Sau în română: “Sunt Oarecum Harnic, Caut Adesea Harmonie, Trebuie Oricum să Aflu”

4. Valori Speciale – Triunghiurile Magice

Pentru 30° și 60°:

Într-un triunghi dreptunghic cu unghiurile 30°, 60°, 90°:

• Latura opusă lui 30° = ½ ipotenuză
• Latura opusă lui 60° = (√3)/2 ipotenuză

sin(30°) = 1/2      cos(30°) = √3/2      tan(30°) = 1/√3 = √3/3
sin(60°) = √3/2     cos(60°) = 1/2       tan(60°) = √3

Pentru 45°:

Într-un triunghi dreptunghic isoscel (45°-45°-90°):

• Catetele sunt egale
• Ipotenuza = cateta × √2

sin(45°) = √2/2     cos(45°) = √2/2      tan(45°) = 1

5. Tabel cu Valorile Speciale

Unghi	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	1/2	√2/2	√3/2	1
cos	1	√3/2	√2/2	1/2	0
tan	0	√3/3	1	√3	∞

Observații:

• sin(0°) = 0, sin(90°) = 1 → sinusul crește de la 0 la 1
• cos(0°) = 1, cos(90°) = 0 → cosinusul scade de la 1 la 0
• tan(45°) = 1 → tangenta are valoarea 1 la jumătatea drumului

6. Definiția pe Cercul Trigonometric – Vista Completă

Cercul trigonometric este un cerc cu raza = 1, centrat în originea unui sistem de coordonate.

Coordonatele unui punct P pe cerc:

• x = cos(θ) (proiecția pe axa OX)
• y = sin(θ) (proiecția pe axa OY)

Tangenta: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) = y/x

Reprezentare:

          y
          |
          |   P(x,y) = (cosθ, sinθ)
          |    /
          |   / )
          |  /  θ
          | / 
----------O/----------x
          |\
          | \
          |  \
          |   \
          |    \
          |

Cercul unitate are:

• Raza = 1
• Ecuația: x² + y² = 1
• Dar x = cosθ, y = sinθ ⇒ sin²θ + cos²θ = 1 (identitatea fundamentală!)

7. Proprietăți Fundamentale și Identități

1. Identitatea trigonometrică fundamentală:

sin²θ + cos²θ = 1

Demonstrație: În triunghiul dreptunghic: (op/h)² + (al/h)² = (op²+al²)/h² = h²/h² = 1

2. Tangenta ca raport:

tanθ = sinθ / cosθ  (pentru cosθ ≠ 0)

3. Relații între funcții complementare:

Pentru θ ascuțit:

sin(90° - θ) = cosθ
cos(90° - θ) = sinθ
tan(90° - θ) = 1/tanθ = cotθ

4. Funcții pentru unghiuri opuse:

sin(-θ) = -sinθ
cos(-θ) = cosθ
tan(-θ) = -tanθ

8. Cum Calculezi cu Aceste Funcții

Exemplu 1: Când cunoști unghiul

Pentru θ = 30°:

sin30° = 0.5
cos30° ≈ 0.866
tan30° ≈ 0.577

Exemplu 2: Când cunoști o latură și un unghi

Triunghi dreptunghic, ipotenuza = 10 cm, ∡B = 30°:

AB = BC × cos30° = 10 × 0.866 = 8.66 cm
AC = BC × sin30° = 10 × 0.5 = 5 cm

Exemplu 3: Când cunoști o latură și raportul

sinθ = 0.6, ipotenuza = 15 cm:

Cateta opusă = 15 × 0.6 = 9 cm
Cateta alăturată = √(15² - 9²) = √(225-81) = √144 = 12 cm
cosθ = 12/15 = 0.8
tanθ = 9/12 = 0.75

9. Graficele Funcțiilor Trigonometrice

Sinusul: y = sin(x)

• Perioadă: 360° sau 2π radiani
• Amplitudine: de la -1 la 1
• Formă: “Valuri” care încep de la 0
• Zerouri: 0°, 180°, 360°, …
• Maxime: 90°, 450°, … (valoarea 1)
• Minime: 270°, 630°, … (valoarea -1)

Cosinusul: y = cos(x)

• Perioadă: 360° sau 2π radiani
• Amplitudine: de la -1 la 1
• Formă: “Valuri” care încep de la 1
• Zerouri: 90°, 270°, …
• Maxime: 0°, 360°, … (valoarea 1)
• Minime: 180°, 540°, … (valoarea -1)

Relație: cos(x) = sin(x + 90°) → Cosinusul este sinusul deplasat cu 90°!

Tangenta: y = tan(x)

• Perioadă: 180° sau π radiani
• Asimptote verticale: la 90°, 270°, … (unde cos=0)
• Formă: Curbe care merg de la -∞ la +∞
• Zerouri: la 0°, 180°, 360°, … (unde sin=0)

10. Aplicații Practice – Unde Întâlnești Trigonometria

1. În construcții și arhitectură:

• Pantă acoperiș: tan(θ) = înălțime / lungime
• Scări: unghiul de înclinare
• Stâlpi și cabluri: calculul tensiunilor

2. În navigație:

• Navigație maritimă: calculul distanțelor
• GPS: triangulația în 3D
• Aviație: direcția și unghiul de urcare

3. În fizică:

• Mișcarea armonică: x(t) = A·sin(ωt + φ)
• Undele: sunetul, lumina sunt descrise prin sin/cos
• Forțe pe plan înclinat: descompunerea forțelor

4. În electronică și telecomunicații:

• Curent alternativ: V(t) = V₀·sin(ωt)
• Procesarea semnalelor
• Transmiterea radio

5. În viața de zi cu zi:

• Înălțimea unui copac: măsurarea unghiului de la baza copacului
• Distanța peste un râu
• Instalarea unei antene TV

11. Probleme Rezolvate Pas cu Pas

Problema 1: Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este 13 cm, iar sin(B) = 5/13. Află catetele.

Rezolvare:

sin(B) = AC/BC = 5/13
Dar BC = 13 ⇒ AC = 5 cm (cateta opusă)

Cu Pitagora: AB² + 5² = 13²
AB² + 25 = 169
AB² = 144 ⇒ AB = 12 cm (cateta alăturată)

Verificare: sin(B) = 5/13 ≈ 0.3846, AB/BC=12/13≈0.9231

Problema 2: Un teren are forma unui triunghi dreptunghic. Latura cea mai scurtă este de 30 m, iar tangenta unghiului opus ei este 3/4. Află celelalte laturi.

Rezolvare:

Fie triunghiul ABC, ∡A=90°, BC ipotenuza
Cateta scurtă AB = 30 m (op. unghiului mic C)
tan(C) = 3/4 = AB/AC
30/AC = 3/4 ⇒ AC = 40 m

BC = √(30² + 40²) = √(900+1600) = √2500 = 50 m

Problema 3: Calculați sin²30° + cos²60° + tan45°

Rezolvare:

sin30° = 1/2 ⇒ sin²30° = 1/4
cos60° = 1/2 ⇒ cos²60° = 1/4
tan45° = 1

Total = 1/4 + 1/4 + 1 = 0.5 + 1 = 1.5

Problema 4: Un avion zboară la înălțimea de 3000 m. Un observator pe pământ vede avionul sub un unghi de 30°. La ce distanță orizontală se află avionul?

Rezolvare:

    Avion
       \
        \
         \   ipotenuza
          \
           \
            \
O------------P
observator  punct sub avion

tan(30°) = înălțime / distanță_orizontală
√3/3 = 3000 / d
d = 3000 × 3/√3 = 9000/√3 ≈ 5196 m ≈ 5.2 km

12. Transformarea Grade ↔ Radiani

Radianul: măsura naturală a unghiurilor, bazată pe raza cercului.

180° = π radiani
1 radian ≈ 57.3°

Conversii:

• De la grade la radiani: × π/180
• De la radiani la grade: × 180/π

Exemple:

30° = 30 × π/180 = π/6 radiani
45° = π/4 radiani
60° = π/3 radiani
90° = π/2 radiani

13. Funcții Trigonometrice Inverse

Uneori știm valoarea funcției și vrem unghiul:

Arcsinus (sin⁻¹ sau asin): sin⁻¹(0.5) = 30° (sau π/6)
Arccosinus (cos⁻¹ sau acos): cos⁻¹(0.5) = 60° (sau π/3)
Arctangentă (tan⁻¹ sau atan): tan⁻¹(1) = 45° (sau π/4)

Atenție: Acestea dau doar unghiuri principale (de obicei între -90° și 90° pentru arcsin și arctan, între 0° și 180° pentru arccos).

14. Triunghiuri Oarecare – Teorema Sinusurilor și Cosinusurilor

Pentru triunghiuri care nu sunt dreptunghice:

Teorema sinusurilor:

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
(R = raza cercului circumscris)

Teorema cosinusurilor:

a² = b² + c² - 2bc·cosA
(b² = a² + c² - 2ac·cosB, etc.)

15. Capcane și Greșeli Frecvente

Capcana 1: sinθ = opusă/alăturată

GREȘIT: sinθ = opusă/alăturată ✗
CORECT: sinθ = opusă/ipotenuză ✓

Capcana 2: Calculatorul pe grade vs radiani

Dacă calculatorul este pe radiani și tu introduci grade, va da rezultate greșite!
Verifică mereu MODE-ul calculatorului!

Capcana 3: sin²θ = (sinθ)², nu sin(θ²)

sin²θ înseamnă (sinθ)²
sinθ² înseamnă sin(θ²) - complet diferit!

Capcana 4: sinθ poate fi mai mare ca 1

Într-un triunghi dreptunghic, sinθ ≤ 1 întotdeauna!
Dacă obții >1, ai greșit undeva.

Capcana 5: Confuzia între sinus și cosinus

Sinusul este pentru latura opusă
Cosinusul este pentru latura alăturată
Nu inversa!

Capcana 6: tanθ pentru θ = 90°

tan90° este nedefinită (împărțire la 0: sin90°/cos90° = 1/0)

16. Exerciții Practice

Calculează:

1. sin60° + cos30° = ? (√3)
2. tan45° × cos45° = ? (√2/2)
3. sin²45° + cos²45° = ? (1)
4. Dacă sinθ = 0.8 și θ este ascuțit, află cosθ și tanθ. (cos=0.6, tan=4/3)

Probleme:

1. O scară de 5 m este rezemată de un perete, formând un unghi de 60° cu pământul. La ce înălțime atinge peretele? (5×sin60°=5×√3/2≈4.33 m)
2. Un triunghi dreptunghic are o catetă de 6 cm și unghiul opus ei de 30°. Află ipotenuza. (12 cm, căci sin30°=1/2 ⇒ 6/h=1/2 ⇒ h=12)

Concluzie: Să-ți spun ceva direct

Funcțiile trigonometrice nu sunt doar un capitol de geometrie. Sunt un limbaj universal care descrie relații spațiale, mișcări periodice, oscilații – practic toate fenomenele care se repetă în natură.

Cele mai multe greșeli vin din memorarea mecanică a formulelor fără înțelegerea semnificației lor geometrice sau din confuzia între definiții.

Așa că ia o foaie și:

1. Desenează un triunghi dreptunghic cu ipotenuza 10 cm și un unghi de 37°
2. Calculează catetele folosind sin37°≈0.6 și cos37°≈0.8
3. Verifică cu teorema lui Pitagora
4. Desenează cercul trigonometric și marchează punctul pentru 37°

Pentru că puterea adevărată a trigonometriei nu este în calcularea unor valori izolate, ci în înțelegerea că ea oferă o legătură profundă între geometria triunghiurilor și algebra funcțiilor. O dată ce înțelegi că sinusul și cosinusul sunt coordonate pe cerc, iar tangenta este panta razei, totul devine o imagine unitară și frumoasă.

Sfat de final: Învață să “simți” trigonometria. Când vezi un unghi, gândește-te automat: “sinusul este partea verticală, cosinusul este partea orizontală”. Când vezi o pantă, gândește-te la tangentă. Transformă trigonometria din formule abstracte într-un mod de a vedea și înțelege lumea din jur – pentru că de fapt, lumea este plină de triunghiuri și unghiuri!