Progresii Aritmetice: Matematică în ritm de manele crescătoare!

Salutare, matematicieni în devenire! Azi vorbim despre Progresii Aritmetice (PA) – probabil cel mai cool și mai ușor de înțeles tip de șir. Dacă șirurile sunt ca playlists, progresiile aritmetice sunt playlist-urile cu hit-uri care cresc sau scad cu același beat constant. E ca și cum ai asculta manele la volum din ce în ce mai tare (sau mai încet, după preferințe)!

1. Ce e o Progresie Aritmetică? “Cățelușii cu ochi albaștri”

Definiție oficială: Un șir în care diferența dintre oricare doi termeni consecutivi este CONSTANTĂ.

Definiție pe înțelesul meu: E ca o scară – treptele sunt la aceeași distanță între ele!

Exemplu din viața reală: Săptămâna economiilor

• Luni: am 10 lei în pușculiță
• Marți: adaug 5 lei → am 15 lei
• Miercuri: adaug inca 5 lei → am 20 lei
• Joi: adaug iar 5 lei → 25 lei

Șirul: 10, 15, 20, 25, 30, …
RATIA (notată cu r) = diferența constantă = +5 lei
Fiecare zi ai cu 5 lei mai mult decât ziua precedentă!

Terminologia esențială:

• a₁ = primul termen = 10 lei
• r = rația = +5 lei (dacă crește) sau -5 lei (dacă scade)
• aₙ = al n-lea termen
• n = numărul de ordine (a câta zi/săptămână/lună etc.)

GRAFIC TEXT - PROGRESIE ARITMETICĂ CRESCĂTOARE:
Treapta 1: a₁ = 10 lei
          │
          │ (+5 lei = rația r)
          ↓
Treapta 2: a₂ = 15 lei
          │
          │ (+5 lei)
          ↓
Treapta 3: a₃ = 20 lei
          │
          │ (+5 lei)
          ↓
Treapta 4: a₄ = 25 lei

RAȚIA r = 5 (constantă!) <- SECRETUL PA!

2. Formula Termenului General – “Mașinăria magică”

Ți-am spus că PA sunt ușoare? Uite de ce:

Formula: ( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r )

Traducere: Pentru a ajunge la treapta n, pornesc de la prima treaptă (a₁) și urc (n-1) trepte, fiecare de mărime r.

Exemplu: Să revenim la economiile noastre

• a₁ = 10 lei (primul termen)
• r = 5 lei (rația)
• Vrem să știm câți bani avem după 7 zile (n=7)

( a_7 = 10 + (7-1) \cdot 5 )
( a_7 = 10 + 6 \cdot 5 )
( a_7 = 10 + 30 = 40 ) lei

Verificare rapidă:
Ziua 1: 10 lei
Ziua 2: 15 lei (+5)
Ziua 3: 20 lei (+5)
Ziua 4: 25 lei (+5)
Ziua 5: 30 lei (+5)
Ziua 6: 35 lei (+5)
Ziua 7: 40 lei (+5) ✓

Truc util: Cum găsești rația?

Formula: ( r = a_{n} – a_{n-1} )

Adică: scazi termenul precedent din termenul curent.

Exemplu: Ști că a₅ = 23 și a₆ = 30
( r = a₆ – a₅ = 30 – 23 = 7 )

3. Progresii Descrescătoare – “Coborârea de pe munte”

Da, și astea sunt PA! Doar că rația e negativă.

Exemplu dramatic: Nivelul de răbdare al părinților în vacanța de vară cu copiii

• Ziua 1: 100% răbdare
• Ziua 2: 85% (“Nu vă mai certați!”)
• Ziua 3: 70% (“Așa am zis ieri?!”)
• Ziua 4: 55% (“Mă duc să-mi iau o cafea…”)
• Ziua 5: 40% (“Când se termină vacanța?!”)

Șirul: 100, 85, 70, 55, 40, …
a₁ = 100%
r = -15% (scade cu 15% pe zi)
n = 5 (a cincea zi)

După 7 zile: ( a_7 = 100 + (7-1) \cdot (-15) )
( a_7 = 100 + 6 \cdot (-15) )
( a_7 = 100 – 90 = 10\% ) răbdare rămasă ⚠️

GRAFIC TEXT - PA DESCĂSCĂTOARE:
Nivel răbdare
100% │ ● a₁
      │    \
85%  │       ● a₂
      │          \
70%  │             ● a₃
      │                \
55%  │                   ● a₄
      │                      \
40%  │                         ● a₅
      │
      └─────────────────────────────> Zile
       1    2    3    4    5

RAȚIA: r = -15% (constantă negativă)

4. Suma primilor n termeni – “Bani la grămadă!”

Aici devine interesant! Cum calculezi totalul economiilor după n zile? Nu doar ce ai în ziua n, ci suma tuturor zilelor!

Formula sumei: ( S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} )

Traducere: Suma = (numărul de termeni) × (primul + ultimul) ÷ 2

Exemplu: Economiile noastre săptămânale (7 zile)
Știm: a₁ = 10 lei, a₇ = 40 lei, n = 7

( S_7 = \frac{7 \cdot (10 + 40)}{2} )
( S_7 = \frac{7 \cdot 50}{2} )
( S_7 = \frac{350}{2} = 175 ) lei total după 7 zile

Verificare manuală: 10+15+20+25+30+35+40 = 175 lei ✓

A doua formulă a sumei (când nu știi aₙ):

( S_n = \frac{n \cdot [2a_1 + (n-1) \cdot r]}{2} )

Același exemplu:
( S_7 = \frac{7 \cdot [2 \cdot 10 + (7-1) \cdot 5]}{2} )
( S_7 = \frac{7 \cdot [20 + 6 \cdot 5]}{2} )
( S_7 = \frac{7 \cdot [20 + 30]}{2} )
( S_7 = \frac{7 \cdot 50}{2} = 175 ) lei ✓

5. Probleme practice cu PA – “Povesti matematice”

Problema 1: Salariul cu spor anual

Lucrezi la o firmă care îți mărește salariul cu 500 lei în fiecare an.

• Anul 1: 3000 lei/lună
• Anul 2: 3500 lei/lună
• Anul 3: 4000 lei/lună

Întrebare: Cât vei câștiga în anul 10?
( a_{10} = 3000 + (10-1) \cdot 500 )
( a_{10} = 3000 + 9 \cdot 500 )
( a_{10} = 3000 + 4500 = 7500 ) lei/lună

Întrebare bonus: Care e suma totală câștigată în primii 5 ani? (60 de luni)
a₁ = 3000 (prima lună)
a₆₀ = ? (luna 60 = anul 5)

Mai întâi aflu a₆₀:
( a_{60} = 3000 + (60-1) \cdot 500 )
( a_{60} = 3000 + 59 \cdot 500 )
( a_{60} = 3000 + 29500 = 32500 ) lei (!!! în ultima lună)

Acum suma:
( S_{60} = \frac{60 \cdot (3000 + 32500)}{2} )
( S_{60} = 30 \cdot 35500 = 1.065.000 ) lei în 5 ani!

Problema 2: Scăderea prețului telefonului

Un telefon nou costă 4000 lei și se ieftinește cu 10% din prețul inițial în fiecare lună.

• Luna 1: 4000 lei
• Luna 2: 3600 lei (4000 – 400)
• Luna 3: 3200 lei (3600 – 400)

a₁ = 4000 lei
r = -400 lei (10% din 4000)
n = ? când ajunge la 1200 lei?

Folosim: ( a_n = a_1 + (n-1) \cdot r )
( 1200 = 4000 + (n-1) \cdot (-400) )
( 1200 – 4000 = (n-1) \cdot (-400) )
( -2800 = (n-1) \cdot (-400) )
( n-1 = \frac{-2800}{-400} = 7 )
( n = 8 ) luni

Răspuns: După 8 luni telefonul costă 1200 lei.

6. Proprietăți super importante – “Legile PA”

1. Proprietatea termenului egal depărtat:
   ( a_k + a_m = a_p + a_q ) dacă ( k + m = p + q ) Exemplu: În PA: 2, 5, 8, 11, 14, 17…
   a₂ + a₆ = 5 + 17 = 22
   a₃ + a₅ = 8 + 14 = 22
   a₄ + a₄ = 11 + 11 = 22 Indicele 2+6 = 3+5 = 4+4 = 8 ✓
2. Trei termeni consecutivi:
   Dacă x, y, z sunt în PA, atunci: ( y = \frac{x + z}{2} ) Adică: termenul din mijloc = media aritmetică a vecinilor! Exemplu: 7, ?, 15 sunt în PA
   Termenul mijlociu = ( \frac{7 + 15}{2} = 11 )
   Verificare: 7, 11, 15 cu r=4 ✓
3. Recunoașterea unei PA:
   Un șir e PA dacă ( a_{n+1} – a_n = constant ) pentru orice n.

7. PA în viața reală – “Uitate-n jur!”

1. Scări – treptele sunt la distanță egală → PA
2. Ceasul – minutele de la un anumit moment: 0, 5, 10, 15, … minute
3. Plățile ratei (dacă dobânda e fixă)
4. Reducerea periodică a prețurilor la sale
5. Creșterea înălțimii copilului (în perioade regulate)
6. Numărul de likes pe o postare virală care crește constant

CONCLUZIE FINALĂ – “CHEIA TA PENTRU BAC ȘI VIAȚĂ”

Progresiile aritmetice sunt cele mai prietenoase ființe matematice pe care le vei întâlni la BAC. De ce?

1. Sunt previzibile – știi exact unde merg
2. Au formule simple pe care le poți deduce chiar tu dacă uiți:

• Dacă știi primul termen și rația → găsești orice termen
• Dacă știi doi termeni → găsești rația și tot restul
• Dacă vrei suma → folosești “primul + ultimul” ori de câte ori poți

Regula de aur: Când vezi o problemă cu “crește constant” sau “scade constant” → gândește-te la PA!

Sfaturi pentru BAC:

1. Identifică rapid: a₁ = ?, r = ?, n = ?
2. Alege formula potrivită: pentru termen sau pentru sumă
3. Verifică dacă rația e pozitivă (crește) sau negativă (scade)
4. Atenție la unități de măsură și la ce cere problema

Ultimul exemplu, să rămână în minte:
Gândește-te la PA ca la o mașină care merge cu viteză constantă:

• a₁ = de unde pornești
• r = viteza constantă (pozitivă = înainte, negativă = înapoi)
• n = timpul
• aₙ = unde ești după timpul n
• Sₙ = drumul total parcurs

Matematica asta nu e doar pentru BAC. E pentru a înțelege lumea în ritm regulat. Viața are și ea progresii aritmetice: fiecare zi înveți ceva nou (+r), fiecare lună economisești ceva (+r), fiecare an devii mai înțelept (+r).

Acum du-te și fă câteva exerciții! Începe cu cele simple și vezi cum te prinzi de pattern. PA sunt prietenoase, dar ca orice prieten, trebuie să petreci timp cu ele ca să vă înțelegeți!

Și amintește-ți: Orice progres (aritmetic sau nu) începe cu un prim pas. Al tău este să înțelegi asta! 💪