Progresii Geometrice: Matematică pe modul “VIRAL”!

Bun venit la cel mai interesant capitol din lumea șirurilor! Dacă Progresiile Aritmetice erau ca urcatul treptat pe o scară, Progresiile Geometrice (PG) sunt ca o reacție în lanț sau un video viral! Aici nu aduni aceeași valoare mereu, ci înmuțești sau împarți cu același număr. E diferența dintre a primi 10 lei în plus pe zi (PA) și a-ți dubla banii în fiecare zi (PG)!

1. Esența PG: “De la răspândirea zvonurilor la explozia nucleară”

Definiție oficială: Un șir în care raportul dintre oricare doi termeni consecutivi este CONSTANT.

Definiție pe înțelesul tuturor: Fiecare termen se obține din precedentul înmulțind cu același număr!

Exemplu viral: Răspândirea unei știri false pe WhatsApp

Ora 0: 1 persoană o trimite (tu)
Ora 1: O trimite la 3 prieteni → 3 persoane nou informate
Ora 2: Fiecare din cei 3 o trimite la încă 3 prieteni → 9 persoane
Ora 3: Cei 9 o trimit la câte 3 → 27 de persoane

Șirul: 1, 3, 9, 27, 81, …
RAȚIA (notată cu q) = raportul constant = 3
Fiecare termen = precedentul × 3!

GRAFIC TEXT - EXPLOZIA GEOMETRICĂ:
Nivel 0: ● (tu) 
         │
         │ ×3 (trimiti la 3 prieteni)
         ↓
Nivel 1: ●  ●  ●  (3 persoane)
         │  │  │
         │×3│×3│×3 (fiecare trimite la 3)
         ↓  ↓  ↓
Nivel 2: ●●● ●●● ●●● (9 persoane)
         (și tot așa...)

RAȚIA q = 3 <- FACTORUL DE MULTIPLICARE!

2. Formula Termenului General – “Formula puterii”

Formula: ( a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)} )

Traducere: Pentru a ajunge la termenul n, pornești de la primul termen și înmulțești de (n-1) ori cu q!

Exemplu dramatic: Dublarea banilor în fiecare zi (visul tuturor!)

Ziua 1: ai 1 leu (a₁ = 1)
q = 2 (se dublează zilnic)
Vrem să știm cât avem în ziua 10

( a_{10} = 1 \cdot 2^{(10-1)} )
( a_{10} = 1 \cdot 2^9 )
( a_{10} = 1 \cdot 512 = 512 ) lei

Dar să vedem explozia:
Ziua 1: 1 leu
Ziua 2: 2 lei
Ziua 3: 4 lei
Ziua 4: 8 lei
Ziua 5: 16 lei
…
Ziua 10: 512 lei
Ziua 20: 524.288 lei!
Ziua 30: peste 500 de milioane lei! 🚀

Cum găsești rația q?

Formula: ( q = \frac{a_n}{a_{n-1}} ) (pentru n ≥ 2)

Adică: împarți termenul curent la precedentul!

Exemplu: Ști că a₃ = 20 și a₄ = 60
( q = \frac{a₄}{a₃} = \frac{60}{20} = 3 )

3. Tipuri de PG – “De la boom la colaps”

1. PG crescătoare (q > 1)

Se înmulțește cu ceva mai mare decât 1 → explodează!
Exemplu: 2, 6, 18, 54, … (q = 3)

2. PG descrescătoare (0 < q < 1)

Se înmulțește cu o fracție subunitară → se micșorează!
Exemplu: 100, 50, 25, 12.5, … (q = 0.5 = ½)

3. PG constantă (q = 1)

Se înmulțește cu 1 → rămâne la fel!
Exemplu: 7, 7, 7, 7, … (q = 1)

4. PG alternantă (q < 0)

Se înmulțește cu negativ → sare de la pozitiv la negativ!
Exemplu: 3, -6, 12, -24, … (q = -2)

5. PG staționară (a₁ ≠ 0 și q = 0)

După primul termen, totul devine zero!
Exemplu: 5, 0, 0, 0, … (q = 0)

GRAFIC TEXT - COMPARAȚIE TIPURI PG:
Crescătoare (q=2):   ●-------●-----------●----------------●---> 
                    2       4           8              16

Descrescătoare (q=0.5): 
                    ●------------------------
                    100
                         ●------------------
                         50
                              ●------------
                              25
                                   ●-------
                                   12.5

Alternantă (q=-1.5): 
                    ●           ●           ●
                    4          -6           9
                         ●           ●
                        -6           9      (sare!)

4. Suma primilor n termeni – “Totalul boom-ului”

Atenție la formulă! Depinde de rația q!

Cazul 1: q ≠ 1

( S_n = a_1 \cdot \frac{q^n – 1}{q – 1} )

Sau: ( S_n = a_1 \cdot \frac{1 – q^n}{1 – q} ) (la fel, doar ordonat altfel)

Cazul 2: q = 1

( S_n = n \cdot a_1 ) (logic, toți termenii sunt egali)

Exemplu exploziv: Viralizarea unui TikTok

Clipul tău e vizualizat de 10 persoane în prima oră (a₁ = 10)
Fiecare persoană îl trimite la 2 prieteni (q = 2)
Câte vizualizări totale după 6 ore? (n = 6)

Folosim q ≠ 1 (căci q=2):
( S_6 = 10 \cdot \frac{2^6 – 1}{2 – 1} )
( S_6 = 10 \cdot \frac{64 – 1}{1} )
( S_6 = 10 \cdot 63 = 630 ) vizualizări totale!

Verificare rapidă:
Ora 1: 10 vizualizări
Ora 2: 20 (10×2)
Ora 3: 40 (20×2)
Ora 4: 80 (40×2)
Ora 5: 160 (80×2)
Ora 6: 320 (160×2)
Total: 10+20+40+80+160+320 = 630 ✓

5. Probleme practice cu explozii geometrice

Problema 1: Investiția miraculosă

Investești 1000 lei cu dobândă compusă de 10% pe an.

Anul 1: 1000 lei
Anul 2: 1100 lei (1000 + 10%)
Anul 3: 1210 lei (1100 + 10%)

a₁ = 1000 lei
q = 1.10 (crește cu 10%, adică ×1.10)
n = ? când depășește 2000 lei?

( a_n = 1000 \cdot 1.10^{(n-1)} > 2000 )
( 1.10^{(n-1)} > 2 )

Testăm:
Pentru n=8: ( 1.10^7 = 1.9487 ) (aproape!)
Pentru n=9: ( 1.10^8 = 2.1436 ) (>2000)

Răspuns: În anul 9 (după 8 ani) depășește 2000 lei.

Problema 2: Bila care nu se oprește să sară

O bilă este lăsată să cadă de la 128 metri. După fiecare cădere, sărea înapoi la jumătate din înălțime.

Cădere 1: 128m
Săritură 1: 64m în sus (jumătate)
Cădere 2: 64m
Săritură 2: 32m în sus
Și tot așa…

Ce distanță totală parcurge bila în primele 6 căderi+sărituri?

Să gândim geometric:
Distanțele parcurse: 128, 64, 64, 32, 32, 16, 16, 8, 8, …

Putem grupa: 128 + 2×64 + 2×32 + 2×16 + …
Sau mai simplu: Prima cădere: 128
Apoi perechi: (salt + cădere) = de două ori înălțimea

După prima cădere, înălțimile formează PG:
64, 32, 16, 8, … cu q = 0.5

Suma pentru salturi+căderi (fără prima cădere):
( S_{perechi} = 2 \times 64 \times \frac{1 – 0.5^5}{1 – 0.5} )
(Pentru 5 perechi? Nu, pentru 5 termeni ai PG: 64,32,16,8,4)

Mai bine calculăm direct:
Total = 128 + 2×64 + 2×32 + 2×16 + 2×8 + 2×4
= 128 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8
= 376 metri

6. Proprietăți magice ale PG

Proprietatea termenilor egal depărtați:
( a_k \cdot a_m = a_p \cdot a_q ) dacă ( k + m = p + q ) Exemplu: În PG: 2, 6, 18, 54, 162…
a₂ × a₄ = 6 × 54 = 324
a₃ × a₃ = 18 × 18 = 324
Indicele 2+4 = 3+3 = 6 ✓
Trei termeni consecutivi:
Dacă x, y, z sunt în PG, atunci: ( y^2 = x \cdot z ) Adică: termenul din mijloc la pătrat = produsul vecinilor! Exemplu: 4, ?, 16 sunt în PG
Termenul mijlociu² = 4 × 16 = 64
Deci termenul mijlociu = √64 = 8
Verificare: 4, 8, 16 cu q=2 ✓
Recunoașterea unei PG:
Un șir e PG dacă ( \frac{a_{n+1}}{a_n} = constant ) pentru orice n.

7. Suma infinită a unei PG descrescătoare – “Aproape, dar niciodată până la capăt”

Aici e SUPER INTERESANT! Dacă PG e descrescătoare (0 < q < 1), putem calcula suma TUTUROR termenilor la infinit!

Formula: ( S = \frac{a_1}{1 – q} ) (doar pentru |q| < 1)

Exemplu filosofic: Zeno și broasca țestoasă

Broasca parcurge jumătate din distanță rămasă în fiecare minut
Distanța inițială: 1 km
Minutul 1: 0.5 km (jumătate)
Minutul 2: 0.75 km (0.5 + jumătate din rămas)
Minutul 3: 0.875 km …

Șirul distanțelor parcurse: 0.5, 0.25, 0.125, … (q = 0.5)

Suma la infinit: ( S = \frac{0.5}{1 – 0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 ) km exact!

Broasca ajunge în cele din urmă, chiar dacă mereu mai are doar jumătate din ce a rămas!

8. PG în viața reală – “Totul e exponențial!”

Dobânzile compuse la bancă – banii tăi cresc geometric!
Creșterea populației în condiții ideale
Decăderea radioactivă – substanța scade geometric în timp
Viralizarea pe rețelele sociale
Epidemiile – fiecare bolnav infectă mai mulți alții
Puterea de cumpărare în timpul inflației (scade geometric)
Tehnologia – puterea procesoarelor se dublează aproximativ la 2 ani (Legea lui Moore)

CONCLUZIE FINALĂ – “DE CE PG SUNT CELE MAI PUTERNICE”

Progresiile geometrice sunt FORȚELE NATURII exprimate matematic! De ce sunt speciale?

Sunt impredictibile la scară mare – o PG cu q>1 crește mai repede decât orice PA!
Modelează schimbări drastice – de la boom-uri economice la colapsuri ecologice
Sunt esența creșterii exponențiale – care e peste tot în univers

Comparație finală PG vs PA:

PA: Aduni aceeași cantitate: 10, 20, 30, 40, … (+10)
PG: Înmuțești cu același factor: 10, 20, 40, 80, … (×2)
După 10 pași: PA ajunge la 100, PG ajunge la 5120! 🤯

Sfaturi pentru BAC:

Identifică rapid: a₁ = ?, q = ?, n = ?
Atenție la q: e subunitar, peste 1, negativ?
Pentru sumă: folosește formula corectă în funcție de q
Pentru probleme cu “crește cu X%”: q = 1 + X/100
Pentru probleme cu “scade cu X%”: q = 1 – X/100

Regula de aur: Când vezi “se dublează”, “se înjumătățește”, “procent fix” → gândește-te la PG!

Ultima imagine pentru memoria vizuală:
Gândește-te la PG ca la o peliculă foto care se autoreproduce:

a₁ = prima fotografie
q = de câte ori se reproduce fiecare copie
n = numărul de generații
aₙ = câte fotografii sunt în generația n
Sₙ = totalul fotografiilor din toate generațiile

În lumea reală, PG sunt atât de puternice încât:

O PG cu q=2 depășește populația Pământului după doar 33 de pași (dacă pornești de la 1)
O bacterie care se divide la fiecare 20 de minute ar umple un ocean în câteva zile (dacă n-ar muri niciuna)

Acum ai în mână una dintre cele mai fascinante unelte matematice. Folosește-o cu înțelepciune, pentru că puterea geometrică poate construi civilizații… sau le poate distruge!

Și amintește-ți: Orice obicei bun (sau rău) se multiplică geometric. Alege-ți cu înțelepciune rația vieții tale! 💥