Teorema Înălțimii și Teorema Catetei – Materie EN și BAC

Bun, hai să vorbim despre cele două teoreme care completează perfect Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic. Nu sunt doar formule de memorat. Sunt instrumente puternice care îți dezvăluie relații ascunse între elementele triunghiului dreptunghic. E un duo atât de elegant încât, odată ce le înțelegi, poți să rezolvi aproape orice problemă cu triunghiuri dreptunghice fără să folosești Pitagora direct!

1. Configurația Magică: Triunghiul Dreptunghic cu Înălțimea

Înainte de orice, să înțelegem configurația de bază:

Fie ΔABC dreptunghic în A (∡A = 90°)
Fie AD ⊥ BC, D ∈ BC (AD este înălțimea dusă din unghiul drept)

Ce se întâmplă magie:

• Înălțimea AD împarte triunghiul inițial în două triunghiuri mai mici
• Aceste triunghiuri mici sunt asemenea între ele și cu triunghiul mare!
• Se formează trei triunghiuri asemenea:

       A
      /|\
     / | \
    /  |  \
   /   |   \
  /    |    \
 /     |     \
B------D------C

Triunghiuri asemenea:
ΔABD ~ ΔADC ~ ΔABC

Puncte importante:

• D este piciorul înălțimii din A
• BD și DC sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză
• AD este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei

2. Teorema Înălțimii – Regula Înălțimii

Enunț: Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei este medie geometrică (proporțională) între proiecțiile catetelor pe ipotenuză.

În formulă:

AD² = BD × DC

În cuvinte: Pătratul înălțimii este egal cu produsul proiecțiilor.

Reprezentare vizuală:

       A
       |
       | h
       |
B------D------C
   p   |   q

h² = p × q
unde:
h = AD (înălțimea)
p = BD (proiecția catetei AB)
q = DC (proiecția catetei AC)

3. Demonstrația Teoremei Înălțimii

Folosind asemănarea triunghiurilor:

Din ΔABD ~ ΔADC (ambele sunt asemenea cu ΔABC și între ele):

ΔABD ~ ΔADC ⇒
AD/DC = BD/AD
(corepundența: AD din primul ↔ AD din al doilea,
              DC din primul ↔ BD din al doilea)

Înmulțind încrucișat:
AD × AD = BD × DC
AD² = BD × DC

Demonstrație completă:

1. ∡ADB = ∡ADC = 90° (AD este înălțime)
2. ∡BAD = ∡ACD (complementare cu ∡CAD și ∡ABD)
3. ΔABD ~ ΔADC (U.U.)
4. AD/DC = BD/AD
5. AD² = BD × DC

4. Teorema Catetei – Regula Fiecărei Catete

Enunț: Într-un triunghi dreptunghic, fiecare catetă este medie geometrică (proporțională) între ipotenuză și proiecția acestei catete pe ipotenuză.

În formule:

AB² = BC × BD   (pentru cateta AB)
AC² = BC × DC   (pentru cateta AC)

În cuvinte: Pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția acestei catete pe ipotenuză.

Reprezentare vizuală:

       A
      /|
     / |
  c /  | b
   /   |
  /    |
 /_____|
B   a   C
   p   q

Pentru cateta AB: c² = (p+q) × p
Pentru cateta AC: b² = (p+q) × q
unde:
c = AB, b = AC, a = BC, p = BD, q = DC

5. Demonstrația Teoremei Catetei

Pentru cateta AB (folosind asemănarea):

Din ΔABD ~ ΔABC:

ΔABD ~ ΔABC ⇒
AB/BC = BD/AB
(cateta AB din mic ↔ ipotenuza BC din mare,
 proiecția BD din mic ↔ cateta AB din mare)

Înmulțind încrucișat:
AB × AB = BC × BD
AB² = BC × BD

Analog pentru cateta AC:
Din ΔADC ~ ΔABC ⇒ AC² = BC × DC

6. Relația dintre Cele Trei Teoreme

Tripletul complet al triunghiului dreptunghic:

1. Teorema lui Pitagora: AB² + AC² = BC²
2. Teorema înălțimii: AD² = BD × DC
3. Teorema catetei: AB² = BC × BD și AC² = BC × DC

Cum se leagă:

• Din teorema catetei: AB² = BC × BD și AC² = BC × DC
• Adunăm: AB² + AC² = BC × BD + BC × DC = BC × (BD + DC)
• Dar BD + DC = BC
• Deci: AB² + AC² = BC × BC = BC² → Teorema lui Pitagora!

Sistem complet:

AB² = BC × BD    (1) Teorema catetei pentru AB
AC² = BC × DC    (2) Teorema catetei pentru AC  
AD² = BD × DC    (3) Teorema înălțimii
AB² + AC² = BC²  (4) Teorema lui Pitagora
BD + DC = BC     (5) Definiția proiecțiilor

7. Tabel cu Toate Relațiile

Element	Formula	Ce reprezintă
Cateta AB	AB² = BC × BD	Pătratul catetei = ipotenuză × proiecția ei
Cateta AC	AC² = BC × DC	Pătratul catetei = ipotenuză × proiecția ei
Înălțimea AD	AD² = BD × DC	Pătratul înălțimii = produsul proiecțiilor
Proiecția BD	BD = AB²/BC	Proiecția = pătratul catetei / ipotenuză
Proiecția DC	DC = AC²/BC	Proiecția = pătratul catetei / ipotenuză

8. Probleme Rezolvate Pas cu Pas

Problema 1: Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea dusă din unghiul drept este 6 cm și împarte ipotenuza în segmentele BD = 4 cm și DC = 9 cm. Află catetele.

Rezolvare:

Date: AD = 6 cm, BD = 4 cm, DC = 9 cm
Verificăm teorema înălțimii: AD² = 6² = 36, BD×DC = 4×9 = 36 ✓

1. Cateta AB (teorema catetei):
   AB² = BC × BD = (4+9) × 4 = 13 × 4 = 52
   AB = √52 = 2√13 cm ≈ 7.21 cm

2. Cateta AC (teorema catetei):
   AC² = BC × DC = 13 × 9 = 117
   AC = √117 = 3√13 cm ≈ 10.82 cm

Verificare Pitagora: (2√13)² + (3√13)² = 4×13 + 9×13 = 52+117=169
BC² = 13² = 169 ✓

Problema 2: Într-un triunghi dreptunghic, o catetă este 8 cm, iar proiecția ei pe ipotenuză este 6.4 cm. Află ipotenuza și cealaltă catetă.

Rezolvare:

Date: AB = 8 cm, BD = 6.4 cm (proiecția lui AB)

1. Ipotenuza BC (teorema catetei):
   AB² = BC × BD
   8² = BC × 6.4
   64 = BC × 6.4
   BC = 64 / 6.4 = 10 cm

2. Proiecția celeilalte catete:
   DC = BC - BD = 10 - 6.4 = 3.6 cm

3. Cateta AC (teorema catetei):
   AC² = BC × DC = 10 × 3.6 = 36
   AC = 6 cm

Verificare: 8² + 6² = 64+36=100, 10²=100 ✓

Problema 3: În triunghiul dreptunghic ABC (∡A=90°), AD ⊥ BC. Dacă AB=15 cm și AC=20 cm, află BD, DC și AD.

Rezolvare:

Date: AB=15 cm, AC=20 cm

1. Ipotenuza BC (Pitagora):
   BC² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625
   BC = 25 cm

2. Proiecții (teorema catetei):
   Pentru AB: AB² = BC × BD ⇒ 225 = 25 × BD ⇒ BD = 9 cm
   Pentru AC: AC² = BC × DC ⇒ 400 = 25 × DC ⇒ DC = 16 cm
   Verificare: 9+16=25 ✓

3. Înălțimea AD (teorema înălțimii):
   AD² = BD × DC = 9 × 16 = 144
   AD = 12 cm

Sau AD din arie: A = (15×20)/2 = 150, dar și A = (25×AD)/2 ⇒ AD=12

9. Formula Ariei folosind Teorema Înălțimii

Aria triunghiului dreptunghic poate fi exprimată în două moduri:

1. Folosind catetele: A = (AB × AC)/2
2. Folosind ipotenuza și înălțimea: A = (BC × AD)/2

Din acestea, obținem relația:

AB × AC = BC × AD

Care se poate demonstra și din teorema înălțimii și catetei!

10. Aplicații Practice – Unde Le Folosești

1. În construcții:

• Calculul înălțimii unui acoperiș
• Determinarea distanțelor înaccessible

2. În topografie:

• Măsurarea înălțimilor dealurilor
• Triangulația pentru hărți

3. În fizică:

• Calculul traiectoriilor
• Probleme cu planul înclinat

4. În viața de zi cu zi:

• Calculul înălțimii unui copac folosind umbra
• Determinarea distanței peste un râu

5. În tehnologie:

• Grafica computerizată
• Proiectarea pantelor

11. Triunghiuri Speciale și Aceste Teoreme

Triunghiul isoscel dreptunghic (45°-45°-90°):

Dacă catetele = 1, atunci:

• BC = √2
• BD = DC = √2/2
• AD = √2/2
  Verificare: AD² = (√2/2)² = 2/4 = 1/2, BD×DC = (√2/2)×(√2/2) = 2/4 = 1/2 ✓

Triunghiul 30°-60°-90°:

Dacă cateta mică (op. 30°) = 1, atunci:

• Cateta mare = √3
• Ipotenuza = 2
• BD (proiecția catetei mici) = 0.5
• DC (proiecția catetei mari) = 1.5
• AD = √3/2
  Verifică teoremele!

12. Metode Practice de Rezolvare

Când ai triunghi dreptunghic cu înălțime:

1. Notează toate elementele: AB, AC, BC, AD, BD, DC
2. Scrie toate relațiile pe care le știi
3. Folosește teorema potrivită:

• Dacă cauți înălțime → teorema înălțimii
• Dacă cauți catetă → teorema catetei
• Dacă cauți proiecție → rearrangează teorema catetei

1. Verifică cu Pitagora la final

13. Demonstrații Vizuale Elegante

Demonstrația teoremei înălțimii cu arii:

Construiești pătrate/pătrate pe AD, BD, DC și arăți că aria pătratului de pe AD este egală cu aria dreptunghiului cu laturile BD și DC.

Demonstrația teoremei catetei cu arii:

Similar, arăți că pătratul de pe catetă acoperă aceeași arie ca un dreptunghi cu laturile BC și proiecția.

14. Probleme Mai Complexe

Problema 4: În triunghiul dreptunghic ABC, AD este înălțime. Dacă raportul catetelor este 3:4 și înălțimea AD = 12 cm, află laturile triunghiului.

Rezolvare:

Fie AB = 3k, AC = 4k
Atunci BC = 5k (triplet 3-4-5)

Aria se poate exprima în două moduri:
1. (AB × AC)/2 = (3k × 4k)/2 = 6k²
2. (BC × AD)/2 = (5k × 12)/2 = 30k

Egalăm: 6k² = 30k ⇒ 6k² - 30k = 0 ⇒ 6k(k-5)=0 ⇒ k=5 (k>0)

Deci: AB=15 cm, AC=20 cm, BC=25 cm

Verificare teorema înălțimii:
BD = AB²/BC = 225/25 = 9
DC = AC²/BC = 400/25 = 16
AD² = 9×16 = 144 ⇒ AD=12 ✓

Problema 5: În triunghiul dreptunghic ABC, înălțimea AD împarte ipotenuza în două segmente a căror diferență este 7 cm. Dacă înălțimea este 12 cm, află catetele.

Rezolvare:

Fie BD = x, DC = y
Date: |x - y| = 7, AD = 12

Teorema înălțimii: x × y = 12² = 144

Rezolvăm sistemul:
x - y = 7  (sau y - x = 7, dar simetric)
x × y = 144

Din prima: x = y + 7
Înlocuim: (y+7) × y = 144
y² + 7y - 144 = 0
Δ = 49 + 576 = 625
y = (-7 ± 25)/2 ⇒ y = 9 (pozitiv)
x = 16

BC = 16+9 = 25 cm
AB = √(25×16) = √400 = 20 cm
AC = √(25×9) = √225 = 15 cm

15. Relația cu Cercul

Într-un triunghi dreptunghic:

• Cercul circumscris are centrul în mijlocul ipotenuzei
• Raza cercului circumscris = jumătate din ipotenuză = BC/2
• Teorema înălțimii este relația de putere a punctului D față de cercul cu diametrul BC

16. Capcane și Greșeli Frecvente

Capcana 1: Confuzia între proiecții

BD este proiecția catetei AB
DC este proiecția catetei AC
Nu inversa!

Capcana 2: Teorema înălțimii în orice triunghi

GREȘIT: AD² = BD × DC în orice triunghi ✗
CORECT: Doar în triunghiul DREPTUNGHIC! ✓

Capcana 3: Aplicarea fără înălțime din unghi drept

Teoremele se aplică doar când înălțimea este dusă din UNGHIUL DREPT!
Nu din alt unghi!

Capcana 4: AD² = BD × BC

GREȘIT: AD² = BD × BC ✗
CORECT: AD² = BD × DC ✓ (produsul proiecțiilor, nu cu ipotenuza)

Capcana 5: AB² = BD × DC

GREȘIT: AB² = BD × DC ✗
CORECT: AB² = BC × BD ✓ (cateta cu ipotenuza și proiecția ei)

Capcana 6: Unități de măsură

Păstrează aceleași unități! Dacă catetele sunt în cm, 
proiecțiile și înălțimea vor fi în cm.

17. Exerciții de Antrenament

Rezolvă:

1. Într-un triunghi dreptunghic, catetele sunt 9 cm și 12 cm. Află proiecțiile catetelor pe ipotenuză.
   (R: 5.4 cm și 9.6 cm)
2. Înălțimea dusă din unghiul drept este 8 cm și una dintre proiecții este 4 cm. Află ipotenuza.
   (R: 20 cm)
3. Proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 9 cm și 16 cm. Află catetele și înălțimea.
   (R: catete 15 și 20 cm, înălțime 12 cm, ipotenuza 25 cm)
4. Într-un triunghi dreptunghic isoscel, înălțimea dusă din unghiul drept este 5√2 cm. Află catetele.
   (R: 10 cm fiecare)

Concluzie: Să-ți spun ceva direct

Teorema înălțimii și teorema catetei nu sunt doar niște formule suplimentare. Sunt ochii prin care vezi structura internă a triunghiului dreptunghic. Ele îți arată cum fiecare element depinde de celelalte într-un mod elegant și predictibil.

Cele mai multe greșeli vin din aplicarea acestor teoreme în configurații greșite sau din confuzia între formulele lor similare.

Așa că ia o foaie și:

1. Desenează un triunghi dreptunghic cu catetele 6 și 8 cm
2. Construiește înălțimea din unghiul drept
3. Calculează toate elementele folosind toate cele trei teoreme
4. Verifică că totul se potrivește perfect

Pentru că frumusețea adevărată a acestor teoreme nu este în formulele lor izolate, ci în modul în care se completează perfect cu teorema lui Pitagora, formând un sistem complet pentru analiza triunghiului dreptunghic. O dată ce înțelegi că aceste trei teoreme sunt trei fețe ale aceleiași realități geometrice, vei vedea ordinea și simetria din spatele aparentei haos a numerelor.

Sfat de final: Învață să “simți” aceste teoreme. Când vezi un triunghi dreptunghic cu înălțime, gândește-te automat: “înălțimea la pătrat = produsul proiecțiilor” și “cateta la pătrat = ipotenuză × proiecția ei”. Această reflexie instantanee este semnul că ai asimilat conceptul!